29. El prisma pentagonal que se muestra tiene un volumen de \( 4950 \mathrm{~cm}^{3} \). ¿Cuánto mide cada uno de los lados de la base del prisma? A) 49.5 cm B) 20 cm C) 12 cm D) 3 cm

Para resolver el problema, necesitamos recordar la fórmula del volumen de un prisma. El volumen \( V \) de un prisma se calcula como: \[ V = A_b \cdot h \] donde \( A_b \) es el área de la base y \( h \) es la altura del prisma. En este caso, la base es un pentágono. El área de un pentágono regular se puede calcular con la fórmula: \[ A_b = \frac{5}{4} \cdot l^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \] donde \( l \) es la longitud de un lado del pentágono. Dado que el volumen del prisma es \( 4950 \, \text{cm}^3 \), podemos establecer la ecuación: \[ 4950 = A_b \cdot h \] Sin embargo, no se proporciona la altura \( h \) del prisma. Para continuar, asumiremos que el prisma es un prisma regular y que la altura no afecta la longitud de los lados de la base. Por lo tanto, podemos calcular el área de la base en función de \( l \) y luego igualar a \( 4950 \). Primero, calcularemos el área de la base en función de \( l \): \[ A_b = \frac{5}{4} \cdot l^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \] Ahora, sustituimos \( A_b \) en la ecuación del volumen: \[ 4950 = \frac{5}{4} \cdot l^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot h \] Para simplificar, necesitamos calcular \( \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \) y luego resolver para \( l \). Primero, calcularemos \( \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \). Procederé a calcular \( \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \) y luego resolveré para \( l \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\cot\left(\frac{\pi }{5}\right)\) Calculate or simplify the expression \( 4950 = (5/4) * l^2 * 1.376382 * h \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(l\): \(4950=\frac{5}{4}l^{2}\times 1.376382h\) - step1: Multiply the terms: \(4950=\frac{688191}{400000}l^{2}h\) - step2: Rewrite the expression: \(4950=\frac{688191}{400000}hl^{2}\) - step3: Swap the sides: \(\frac{688191}{400000}hl^{2}=4950\) - step4: Divide both sides: \(\frac{\frac{688191}{400000}hl^{2}}{\frac{688191}{400000}h}=\frac{4950}{\frac{688191}{400000}h}\) - step5: Divide the numbers: \(l^{2}=\frac{660000000}{229397h}\) - step6: Simplify the expression: \(l=\pm \sqrt{\frac{660000000}{229397h}}\) - step7: Simplify: \(l=\pm \frac{2000\sqrt{37850505h}}{229397h}\) - step8: Separate into possible cases: \(\begin{align}&l=\frac{2000\sqrt{37850505h}}{229397h}\\&l=-\frac{2000\sqrt{37850505h}}{229397h}\end{align}\) Parece que la ecuación para \( l \) en función de \( h \) es bastante compleja y no nos da un valor específico sin conocer la altura \( h \). Sin embargo, podemos hacer algunas suposiciones para simplificar el problema. Dado que no se proporciona la altura, podemos asumir que el prisma es un prisma regular y que la altura es tal que el área de la base se puede calcular directamente. Para determinar la longitud de los lados de la base, podemos probar las opciones dadas: A) \( 49.5 \, \text{cm} \) B) \( 20 \, \text{cm} \) C) \( 12 \, \text{cm} \) D) \( 3 \, \text{cm} \) Vamos a calcular el área de la base para cada una de estas longitudes y ver cuál de ellas podría dar un volumen de \( 4950 \, \text{cm}^3 \) asumiendo una altura razonable. Usaremos la fórmula del área de la base: \[ A_b = \frac{5}{4} \cdot l^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \] y luego calcularemos el volumen para diferentes alturas \( h \). Primero, calcularemos el área de la base para cada opción. Luego, usaremos la fórmula del volumen para determinar si coincide con \( 4950 \, \text{cm}^3 \). Procederé a calcular el área de la base para cada opción. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{5}{4}\times 20^{2}\times 1.376382\) - step1: Multiply the terms: \(\frac{688191}{400000}\times 20^{2}\) - step2: Rewrite the expression: \(\frac{688191}{8000\times 50}\times 20^{2}\) - step3: Rewrite the expression: \(\frac{688191}{20^{3}\times 50}\times 20^{2}\) - step4: Reduce the numbers: \(\frac{688191}{20\times 50}\times 1\) - step5: Multiply: \(\frac{688191}{1000}\) Calculate or simplify the expression \( (5/4) * (3^2) * 1.376382 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{5}{4}\times 3^{2}\times 1.376382\) - step1: Multiply the terms: \(\frac{688191}{400000}\times 3^{2}\) - step2: Multiply: \(\frac{688191\times 3^{2}}{400000}\) - step3: Multiply: \(\frac{6193719}{400000}\) Calculate or simplify the expression \( (5/4) * (49.5^2) * 1.376382 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{5}{4}\times 49.5^{2}\times 1.376382\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{5}{4}\left(\frac{99}{2}\right)^{2}\times 1.376382\) - step2: Multiply the terms: \(\frac{688191}{400000}\left(\frac{99}{2}\right)^{2}\) - step3: Evaluate the power: \(\frac{688191}{400000}\times \frac{99^{2}}{2^{2}}\) - step4: Multiply the fractions: \(\frac{688191\times 99^{2}}{400000\times 2^{2}}\) - step5: Multiply: \(\frac{6744959991}{1600000}\) Calculate or simplify the expression \( (5/4) * (12^2) * 1.376382 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{5}{4}\times 12^{2}\times 1.376382\) - step1: Multiply the terms: \(\frac{688191}{400000}\times 12^{2}\) - step2: Rewrite the expression: \(\frac{688191}{400000}\times 4^{2}\times 3^{2}\) - step3: Rewrite the expression: \(\frac{688191}{128\times 3125}\times 4^{2}\times 3^{2}\) - step4: Rewrite the expression: \(\frac{688191}{2^{7}\times 3125}\times 2^{4}\times 3^{2}\) - step5: Reduce the numbers: \(\frac{688191}{2^{3}\times 3125}\times 3^{2}\) - step6: Multiply: \(\frac{688191\times 3^{2}}{25000}\) - step7: Multiply: \(\frac{6193719}{25000}\) Ahora hemos calculado el área de la base para cada longitud de lado propuesta: 1. **Para \( l = 49.5 \, \text{cm} \)**: \[ A_b \approx 4215.60 \, \text{cm}^2 \] 2. **Para \( l = 20 \, \text{cm} \)**: \[ A_b \approx 688.19 \, \text{cm}^2 \] 3. **Para \( l = 12 \, \text{cm} \)**: \[ A_b \approx 247.75 \, \text{cm}^2 \] 4. **Para \( l = 3 \, \text{cm} \)**: \[ A_b \approx 15.48 \, \text{cm}^2 \] Ahora, para determinar si alguna de estas áreas puede dar un volumen de \( 4950 \, \text{cm}^3 \), necesitamos calcular la altura \( h \) correspondiente para cada área usando la fórmula del volumen: \[ h = \frac{V}{A_b} \] Calcularemos \( h \) para cada caso. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{4950}{15.48}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{4950}{\frac{387}{25}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(4950\times \frac{25}{387}\) - step3: Reduce the numbers: \(550\times \frac{25}{43}\) - step4: Multiply: \(\frac{550\times 25}{43}\) - step5: Multiply: \(\frac{13750}{43}\) Calculate or simplify the expression \( 4950 / 4215.60 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{4950}{4215.6}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{4950}{\frac{21078}{5}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(4950\times \frac{5}{21078}\) - step3: Reduce the numbers: \(275\times \frac{5}{1171}\) - step4: Multiply: \(\frac{275\times 5}{1171}\) - step5: Multiply: \(\frac{1375}{1171}\) Calculate or simplify the expression \( 4950 / 688.19 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{4950}{688.19}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{4950}{\frac{68819}{100}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(4950\times \frac{100}{68819}\) - step3: Multiply: \(\frac{4950\times 100}{68819}\) - step4: Multiply: \(\frac{495000}{68819}\) Calculate or simplify the expression \( 4950 / 247.75 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{4950}{247.75}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{4950}{\frac{991}{4}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(4950\times \frac{4}{991}\) - step3: Multiply: \(\frac{4950\times 4}{991}\) - step4: Multiply: \(\frac{19800}{991}\) Ahora hemos calculado la altura \( h \) correspondiente para cada longitud de lado propuesta: 1. **Para \( l = 49.5 \, \text{cm} \)**: \[ h \approx 1.17 \, \text{cm} \] 2. **Para \( l = 20 \, \text{cm} \)**: \[ h \approx 7.19 \, \text{cm} \] 3. **Para \( l = 12 \, \text{cm} \)**: \[ h \approx 19.98 \, \text{cm} \] 4. **Para \( l = 3 \, \text{cm} \)**: \[ h \approx 319.77 \, \text{cm} \] De estas alturas, la opción que parece más razonable es \( l = 20 \, \text{cm} \) con una altura de aproximadamente \( 7.19 \, \text{cm} \). Las otras opciones tienen alturas que son poco prácticas para un prisma. Por lo tanto, la respuesta correcta es: **B) 20 cm**.