Exercice 2: Dans chacun des cas suivants: 1/ Montrer que \( f \) est dérivable sur \( I \), puis calculer \( f^{\prime}(x) \) pour tout \( x \) de \( I \). 2/ Etudier le signe de \( f^{\prime} \). 3/ Dresser le tableau de variation de \( f \) 4/ Déterminer les extremums de \( f \) dans les cas possibles. \( \begin{array}{ll}\text { - } f(x)=x^{3}-3 x & ; \quad I=\mathbb{R} \\ \text { - } f(x)=\sin (x)-\frac{1}{2} x & ; \quad I=[0 ; 2 \pi[ \\ \text { - } f(x)=\frac{x^{2}+2 x+2}{x+1} & \text { - } I=]-\infty ; 0[U] 1 ;+\infty[ \\ \text { - } f(x)=x \sqrt{x^{2}-x} & ; \quad I=]-\infty ; 1[U] 1 ;+\infty[ \end{array} \)

Pour la fonction \( f(x) = x^3 - 3x \), on peut montrer que \( f \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \) car il s'agit d'un polynôme. En calculant la dérivée, on trouve \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Cette dérivée s'annule pour \( x = \pm 1 \), nous permettant d'étudier le signe de \( f' \) par des tests de variations. Le tableau de variation indique que \( f \) possède un maximum en \( x = -1 \) et un minimum en \( x = 1 \). Pour \( f(x) = \sin(x) - \frac{1}{2}x \) sur l'intervalle \( [0; 2\pi[ \), la fonction est dérivable car elle est composée de fonctions dérivables. En calculant \( f'(x) = \cos(x) - \frac{1}{2} \), on identifie les points critiques en résolvant \( \cos(x) = \frac{1}{2} \), ce qui donne \( x = \frac{\pi}{3} \) et \( x = \frac{5\pi}{3} \). En étudiant le signe de \( f' \), on dresse le tableau de variation qui révèle un maximum à \( x = \frac{5\pi}{3} \) et un minimum à \( x = \frac{\pi}{3} \).