\( \left\{\begin{array}{ll}x^{2}-3 x+1 & \text { si } x \leq 2 \\ \frac{3}{x-5} & \text { si } x>2\end{array}\right. \)

Claro, vamos a analizar la función definida por partes que has proporcionado: \[ f(x) = \begin{cases} x^{2} - 3x + 1 & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{3}{x - 5} & \text{si } x > 2 \end{cases} \] ### 1. **Dominio de la Función** El dominio de una función es el conjunto de valores de \( x \) para los cuales la función está definida. - **Para \( x \leq 2 \):** La expresión \( x^{2} - 3x + 1 \) es un polinomio, que está definido para todos los valores reales de \( x \). - **Para \( x > 2 \):** La expresión \( \frac{3}{x - 5} \) está definida siempre que el denominador sea distinto de cero. Por lo tanto, \( x - 5 \neq 0 \) lo que implica \( x \neq 5 \). **Dominio de \( f(x) \):** \[ \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 5 \} \] ### 2. **Puntos de Discontinuidad** - **En \( x = 2 \):** Es importante verificar la continuidad en el punto de cambio de las partes de la función. - Límite por la izquierda (\( x \to 2^- \)): \[ \lim_{x \to 2^-} (x^{2} - 3x + 1) = 2^{2} - 3(2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 \] - Límite por la derecha (\( x \to 2^+ \)): \[ \lim_{x \to 2^+} \frac{3}{x - 5} = \frac{3}{2 - 5} = \frac{3}{-3} = -1 \] - Valor de la función en \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^{2} - 3(2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1 \] Como los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y coinciden con el valor de la función en \( x = 2 \), la función es continua en este punto. - **En \( x = 5 \):** La función no está definida en \( x = 5 \) debido a que el denominador se anula (\( x - 5 = 0 \)). Por lo tanto, hay una **asíntota vertical** en \( x = 5 \). ### 3. **Comportamiento Asintótico** - **Asíntota vertical en \( x = 5 \):** Conforme \( x \) se aproxima a 5 desde la izquierda (\( x \to 5^- \)): \[ \lim_{x \to 5^-} \frac{3}{x - 5} = -\infty \] Desde la derecha (\( x \to 5^+ \)): \[ \lim_{x \to 5^+} \frac{3}{x - 5} = +\infty \] - **Asíntota horizontal:** Para \( x > 2 \), analizamos el límite cuando \( x \) tiende a infinito: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x - 5} = 0 \] Por lo tanto, hay una **asíntota horizontal** en \( y = 0 \). ### 4. **Gráfica de la Función** - **Para \( x \leq 2 \):** Es una parábola con la ecuación \( y = x^{2} - 3x + 1 \). Esta parábola abre hacia arriba, ya que el coeficiente de \( x^2 \) es positivo. - **Para \( x > 2 \):** Es una hipérbola con una asíntota vertical en \( x = 5 \) y una asíntota horizontal en \( y = 0 \). ### 5. **Puntos de Intersección con los Ejes** - **Intersección con el eje Y (\( x = 0 \)):** \[ f(0) = 0^{2} - 3(0) + 1 = 1 \] Punto: \( (0, 1) \). - **Intersección con el eje X (\( y = 0 \)):** - Para \( x \leq 2 \): \[ x^{2} - 3x + 1 = 0 \implies x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] Aproximadamente, \( x \approx 0.38 \) y \( x \approx 2.62 \). Sin embargo, dado que \( x \leq 2 \), solo \( x \approx 0.38 \) es válido. - Para \( x > 2 \): \[ \frac{3}{x - 5} = 0 \] No existe solución real, ya que una fracción solo puede ser cero si el numerador es cero, y en este caso el numerador es constante \( 3 \). Punto de intersección con el eje X: \( \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 0 \right) \approx (0.38, 0) \). ### 6. **Resumen de Comportamiento de la Función** - **Continua en todo su dominio excepto en \( x = 5 \) donde tiene una asíntota vertical.** - **Tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \) para \( x > 2 \).** - **La parte polinómica para \( x \leq 2 \) es una parábola que es continua y suave.** - **La parte racional para \( x > 2 \) presenta un comportamiento asintótico característico de las hipérbolas.** ### 7. **Gráfica Aproximada** Para visualizar mejor la función, considera lo siguiente: - **Para \( x \leq 2 \):** Grafica la parábola \( y = x^{2} - 3x + 1 \). Esta parabola pasa por el punto \( (0,1) \) y tiene su vértice en \( x = \frac{3}{2} \). - **Para \( x > 2 \):** Grafica la hipérbola \( y = \frac{3}{x - 5} \) con asíntotas en \( x = 5 \) y \( y = 0 \). Asegúrate de considerar únicamente las partes de las funciones que corresponden a sus respectivos intervalos de \( x \).