Identidades Trigonométricas \( 2 \cos ^{2} x-1=1-2 \operatorname{sen}^{2} x \)

As identidades trigonométricas são fundamentais para simplificar e resolver equações que envolvem funções trigonométricas. A identidade que você mencionou: \[ 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x \] é, na verdade, duas formas da identidade do ângulo duplo para o cosseno. Vamos entender como isso ocorre. ### Identidade do Ângulo Duplo para o Cosseno A identidade do ângulo duplo para o cosseno pode ser expressa de três maneiras equivalentes: 1. **Em termos de cosseno:** \[ \cos(2x) = 2 \cos^{2} x - 1 \] 2. **Em termos de seno:** \[ \cos(2x) = 1 - 2 \sin^{2} x \] 3. **Em termos de seno e cosseno:** \[ \cos(2x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x \] ### Demonstrando a Igualdade Vamos mostrar que as duas expressões que você forneceu são iguais utilizando a identidade básica pitagórica, que relaciona seno e cosseno: \[ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \] A partir dessa identidade, podemos expressar uma função em termos da outra. 1. **Começando com \(2 \cos^{2} x - 1\):** \[ 2 \cos^{2} x - 1 = \cos(2x) \] 2. **Expressando \( \cos^{2} x \) em termos de \( \sin^{2} x \):** \[ \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x \] Substituindo na expressão original: \[ 2(1 - \sin^{2} x) - 1 = 2 - 2 \sin^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x \] Portanto: \[ 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x = \cos(2x) \] ### Conclusão A igualdade que você apresentou mostra duas formas diferentes da mesma identidade trigonométrica do ângulo duplo para o cosseno. Ambas são válidas e podem ser usadas dependendo do contexto da resolução do problema. **Resumindo:** \[ 2 \cos^{2} x - 1 = 1 - 2 \sin^{2} x = \cos(2x) \] Essa identidade é extremamente útil em diversas aplicações, incluindo a simplificação de expressões trigonométricas e a resolução de equações envolvendo funções trigonométricas.