Encontrar la primera derivada de $$ f(u)=\ln \left(v^{2} \sqrt{1-v}\right) $$

Question

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Dada la función

f(v) = ln(v² √(1 − v)),

podemos encontrar su derivada utilizando propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión antes de derivar.

Paso 1. Escribimos la función f(v) usando propiedades logarítmicas:

ln(v² √(1 − v)) = ln(v²) + ln(√(1 − v))
           = 2 ln(v) + (1/2) ln(1 − v).

Paso 2. Derivamos término a término.

- La derivada de 2 ln(v) es:
  d/dv [2 ln(v)] = 2 · (1/v) = 2/v.

- La derivada de (1/2) ln(1 − v) aplicando la regla de la cadena es:
  d/dv [(1/2) ln(1 − v)] = (1/2) · (1/(1 − v)) · (−1) = −1/(2(1 − v)).

Paso 3. Sumamos las derivadas obtenidas:

f '(v) = 2/v − 1/(2(1 − v)).

Esta es la primera derivada de la función dada.
La primera derivada de $$ f(v) = \ln(v^2 \sqrt{1 - v}) $$ es $$ f'(v) = \frac{2}{v} - \frac{1}{2(1 - v)} $$.

Encontrar la primera derivada de \( f(u)=\ln \left(v^{2} \sqrt{1-v}\right) \)

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