3. Encuentra las coordenadas del punto que corresponde a la tercera parte del segmento que une los puntos. \[ E(9,0) \text { y } F(0,6) . \] \[ A(-4,8) \text { y } B(6,10) \] \[ C(2,-3) \text { y } D(4,2) \] \[ M(4,-3) \text { y } N(-2,5) \] 4. Encontrar la distancia entre los puntos \( y \) las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos. Realizar la gráfica. \( R(1,3), S(-3,4) \) \( P(-5,-2), Q(3,4) \) \( V(5,-3), W(0,0) \) \( F(6,10) \) y \( G(-1,3) \) h. \( A(-3,7), B(2,-8) \) f. \( M(-2,5), N(-1,7) \) g. \( T(-5,4), U(-1,-4) \) \( \square \) \( \square \) i. \( J\left(1, \frac{1}{3}\right) \) y \( K\left(2, \frac{7}{5}\right) \)

Para resolver los problemas planteados, procederemos paso a paso. ### Problema 3: Encontrar las coordenadas del punto que corresponde a la tercera parte del segmento que une los puntos \( E(9,0) \) y \( F(0,6) \). 1. **Encontrar el vector que une los puntos \( E \) y \( F \)**: \[ \text{Vector } EF = F - E = (0 - 9, 6 - 0) = (-9, 6) \] 2. **Calcular la tercera parte del vector**: \[ \text{Tercera parte de } EF = \left(-\frac{9}{3}, \frac{6}{3}\right) = (-3, 2) \] 3. **Sumar este vector a las coordenadas de \( E \)** para encontrar el punto correspondiente: \[ P = E + \text{Tercera parte de } EF = (9, 0) + (-3, 2) = (6, 2) \] Por lo tanto, las coordenadas del punto que corresponde a la tercera parte del segmento que une \( E \) y \( F \) son \( (6, 2) \). ### Problema 4: Encontrar la distancia entre los puntos y las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos. Para cada par de puntos, utilizaremos las siguientes fórmulas: - **Distancia entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \)**: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] - **Punto medio \( M \) entre dos puntos**: \[ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Ahora, calcularemos para cada par de puntos. 1. **Para \( R(1,3) \) y \( S(-3,4) \)**: - Distancia: \[ d_{RS} = \sqrt{((-3) - 1)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \] - Punto medio: \[ M_{RS} = \left(\frac{1 + (-3)}{2}, \frac{3 + 4}{2}\right) = \left(-1, \frac{7}{2}\right) \] 2. **Para \( P(-5,-2) \) y \( Q(3,4) \)**: - Distancia: \[ d_{PQ} = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] - Punto medio: \[ M_{PQ} = \left(\frac{-5 + 3}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = \left(-1, 1\right) \] 3. **Para \( V(5,-3) \) y \( W(0,0) \)**: - Distancia: \[ d_{VW} = \sqrt{(0 - 5)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \] - Punto medio: \[ M_{VW} = \left(\frac{5 + 0}{2}, \frac{-3 + 0}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right) \] 4. **Para \( F(6,10) \) y \( G(-1,3) \)**: - Distancia: \[ d_{FG} = \sqrt{((-1) - 6)^2 + (3 - 10)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \] - Punto medio: \[ M_{FG} = \left(\frac{6 + (-1)}{2}, \frac{10 + 3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{13}{2}\right) \] 5. **Para \( A(-3,7) \) y \( B(2,-8) \)**: - Distancia: \[ d_{AB} = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-8 - 7)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \] - Punto medio: \[ M_{AB} = \left(\frac{-3 + 2}{2}, \frac{7 + (-8)}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) \] 6. **Para \( M(-2,5) \) y \( N(-1,7) \)**: - Distancia: \[ d_{MN} = \sqrt{((-1) - (-2))^2 + (7 - 5)^2} = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] - Punto medio: \[ M_{MN} = \left(\frac{-2 + (-1)}{2}, \frac{5 + 7}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, 6\right) \] 7. **Para \( T(-5,4) \) y \( U(-1,-4) \)**: - Distancia: \[ d_{TU} = \sqrt{((-1) - (-5))^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] - Punto medio: \[ M_{TU} = \left(\frac{-5 + (-1)}{2}, \frac{4 + (-4)}{2}\right) =