Dos estaciones de servicio, A y B, se encuentran en cierto cruce de caminos; en cada una hay seis surtidores de nafta. Consideramos el experimento en que el número de surtidores en uso en un día particular se determina para cada una de las estaciones. a) Describir el espacio muestral del experimento. ¿Cuántos elementos tiene? b) Expresar explícitamente los siguientes eventos: i) C: el número de surtidores en uso es el mismo para ambas estaciones de servicio. ii) D: el número total de surtidores en uso es cuatro. iii) E: por lo menos un surtidor está en uso en cada estación de servicio. iv) ¿Cuáles de los sucesos C, D o E son mutuamente excluyentes? v) sean los eventos \( \mathrm{A}_{i} \) : la estación de servicio A tiene en uso exactamente i surtidores, i = \( 0,1,2,3,4,5,6 ; \) y \( \mathrm{B}_{i} \) : la estación de servicio B tiene en uso i surtidores exactamente, \( \mathrm{i}=0,1,2,3,4,5,6 \). Expresar los eventos anteriores en función de \( \mathrm{A}_{\mathrm{i}}, \mathrm{B}_{\mathrm{i}} \), \( \mathrm{i}=0,1,2,3 \), \( 4,5,6 \).

Para resolver el problema, sigamos los pasos indicados: ### a) Describir el espacio muestral del experimento. ¿Cuántos elementos tiene? El espacio muestral se refiere a todas las combinaciones posibles de surtidores en uso en las estaciones A y B. Cada estación tiene 6 surtidores, y el número de surtidores en uso puede variar de 0 a 6 en cada estación. Por lo tanto, el espacio muestral \( S \) se puede describir como: \[ S = \{(a, b) \mid a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \] Donde \( a \) es el número de surtidores en uso en la estación A y \( b \) es el número de surtidores en uso en la estación B. El número total de elementos en el espacio muestral es: \[ \text{Total de combinaciones} = 7 \times 7 = 49 \] ### b) Expresar explícitamente los siguientes eventos: #### i) C: el número de surtidores en uso es el mismo para ambas estaciones de servicio. El evento \( C \) se puede expresar como: \[ C = \{(i, i) \mid i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \] Esto incluye las combinaciones: \( (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) \). #### ii) D: el número total de surtidores en uso es cuatro. El evento \( D \) se puede expresar como: \[ D = \{(a, b) \mid a + b = 4, a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \] Las combinaciones que cumplen esta condición son: \( (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) \). #### iii) E: por lo menos un surtidor está en uso en cada estación de servicio. El evento \( E \) se puede expresar como: \[ E = \{(a, b) \mid a \geq 1, b \geq 1, a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \] Esto incluye las combinaciones: \( (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \). #### iv) ¿Cuáles de los sucesos C, D o E son mutuamente excluyentes? Para determinar si los eventos son mutuamente excluyentes, debemos ver si hay intersección entre ellos: - **C y D**: No son mutuamente excluyentes, ya que \( (2,2) \) está en \( C \) y también cumple \( a + b = 4 \) para \( D \). - **C y E**: No son mutuamente excluyentes, ya que \( (1,1) \) está en ambos eventos. - **D y E**: No son mutuamente excluyentes, ya que \( (1,3) \) y \( (2,2) \) están en \( D \) y también cumplen la condición de \( E \). Por lo tanto, **ninguno de los eventos C, D o E son mutuamente excluyentes**. #### v) Expresar los eventos anteriores en función de \( A_i \) y \( B_i \): - **Evento C**: \[ C = \{(A_i, B_i) \mid i \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \] - **Evento D**: \[ D = \{(A_a, B_b) \mid a + b = 4, a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \] - **Evento E**: \[ E = \{(A_a, B_b) \mid a \geq 1, b \geq 1, a \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\} \] Esto completa la descripción de los eventos en función de \( A_i \) y \( B_i \).