Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \( (x+6)^{x-3}=(x+6)^{2 x+1} \). A. \( \{-7,-6,-5,-4\} \) B. \( \{-7,-6,-5\} \) C. \( \{-7,-6,-4\} \) D. \( \{-6,-5\} \) E. \( \{-5,-4\} \)

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan \( (x+6)^{x-3}=(x+6)^{2 x+1} \), kita perlu memecahkan persamaan tersebut terlebih dahulu. Persamaan yang diberikan adalah \( (x+6)^{x-3}=(x+6)^{2 x+1} \). Kita dapat memulai dengan menghilangkan eksponen dengan mengambil logaritma dari kedua sisi persamaan. Kita akan menggunakan logaritma aljabar untuk memudahkan proses. Setelah itu, kita dapat memecahkan persamaan yang diperoleh dan menentukan himpunan penyelesaian. Mari kita mulai! Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(x\): \(\left(x+6\right)^{x-3}=\left(x+6\right)^{2x+1}\) - step1: Find the domain: \(\left(x+6\right)^{x-3}=\left(x+6\right)^{2x+1},x>-6\) - step2: Take the logarithm of both sides: \(\ln{\left(\left(x+6\right)^{x-3}\right)}=\ln{\left(\left(x+6\right)^{2x+1}\right)}\) - step3: Simplify: \(\left(x-3\right)\times \ln{\left(x+6\right)}=\left(2x+1\right)\times \ln{\left(x+6\right)}\) - step4: Move the expression to the left side: \(\left(x-3\right)\times \ln{\left(x+6\right)}-\left(2x+1\right)\times \ln{\left(x+6\right)}=0\) - step5: Factor the expression: \(\left(x-3-2x-1\right)\times \ln{\left(x+6\right)}=0\) - step6: Calculate: \(\begin{align}&x-3-2x-1=0\\&\ln{\left(x+6\right)}=0\end{align}\) - step7: Calculate: \(\begin{align}&x=-4\\&x=-5\end{align}\) - step8: Check if the solution is in the defined range: \(\begin{align}&x=-4\\&x=-5\end{align},x>-6\) - step9: Find the intersection: \(\begin{align}&x=-4\\&x=-5\end{align}\) - step10: Check the solution: \(\begin{align}&x=-4\\&x=-5\end{align}\) - step11: Rewrite: \(x_{1}=-5,x_{2}=-4\) Setelah memecahkan persamaan \( (x+6)^{x-3}=(x+6)^{2 x+1} \), kita mendapatkan dua solusi: \( x = -5 \) dan \( x = -4 \). Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah \( \{-5, -4\} \). Jadi, jawaban yang benar adalah E. \( \{-5, -4\} \).