On donne : \( \mathrm{P}(x)=(2 x+5)^{2}-(x-4)^{2} \) et \( \mathrm{Q}(x)=(3 x+1)(5 x-2)-\left(3 x^{2}-14 x-5\right)+\left(9 x^{2}-1\right) \). 1) Montrerque \( 3 x^{2}-14 x-5=(3 x+1)(x-5) \). 2) Factoriser \( \mathrm{P}(x) \) et \( \mathrm{Q}(x) \). 3) Résoudre l'équation \( \mathrm{P}(x)=\mathrm{Q}(x) \). 4) Soit \( \mathrm{H}(x)=\frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)} \). a) Pour quelles valeurs de \( x, \mathrm{H}(x) \) est-elle définie? b) Simplifier \( \mathrm{H}(x) \)

Pour répondre à la question posée, nous allons procéder étape par étape. 1) Pour montrer \( 3 x^{2}-14 x-5=(3 x+1)(x-5) \), nous allons développer le produit à droite. En multipliant les deux binômes, on obtient : \[ (3x + 1)(x - 5) = 3x^2 - 15x + x - 5 = 3x^2 - 14x - 5. \] Cela confirme que l'égalité est vraie. 2) Pour factoriser \( \mathrm{P}(x) \) et \( \mathrm{Q}(x) \), commençons par \( \mathrm{P}(x) \): \[ \mathrm{P}(x) = (2x + 5)^2 - (x - 4)^2. \] Cette expression est une différence de carrés : \[ \mathrm{P}(x) = [(2x + 5) - (x - 4)][(2x + 5) + (x - 4)] = (2x + 5 - x + 4)(2x + 5 + x - 4) = (x + 9)(3x + 1). \] Pour \( \mathrm{Q}(x) \): Commençons par simplifier, nous avons : \[ \mathrm{Q}(x) = (3x + 1)(5x - 2) - (3x^2 - 14x - 5) + (9x^2 - 1). \] Développons \( (3x + 1)(5x - 2) \) : \[ = 15x^2 - 6x + 5x - 2 = 15x^2 - x - 2. \] On substitue cela dans \( \mathrm{Q}(x) \) et combinons les termes : \[ \mathrm{Q}(x) = 15x^2 - x - 2 - (3x^2 - 14x - 5) + 9x^2 - 1 = 15x^2 - x - 2 - 3x^2 + 14x + 5 + 9x^2 - 1. \] En simplifiant les termes semblables : \[ = (15x^2 - 3x^2 + 9x^2) + (-x + 14x) + (-2 + 5 - 1) = 21x^2 + 13x + 2. \] On factorise \( \mathrm{Q}(x) = (3x + 1)(7x + 2) \). 3) Pour résoudre \( \mathrm{P}(x) = \mathrm{Q}(x) \): On remplace par les expressions factorisées : \[ (x + 9)(3x + 1) = (3x + 1)(7x + 2). \] Si \( 3x + 1 \neq 0 \), on peut diviser par \( 3x + 1 \) : \[ x + 9 = 7x + 2 \quad \Rightarrow \quad 9 - 2 = 7x - x \quad \Rightarrow \quad 7 = 6x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{6}. \] Et, les solutions supplémentaires avec \( 3x + 1 = 0 \) : \[ 3x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3}. \] 4) Soit \( \mathrm{H}(x)=\frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)} \). a) La fonction \( \mathrm{H}(x) \) est définie lorsque \( \mathrm{Q}(x) \neq 0 \): \( \mathrm{Q}(x) = (3x + 1)(7x + 2) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -\frac{1}{3} \quad \text{et} \quad x \neq -\frac{2}{7}. \) b) En simplifiant \( \mathrm{H}(x) \) nous avons : \[ \mathrm{H}(x) = \frac{(x + 9)(3x + 1)}{(3x + 1)(7x + 2)}. \] Pour \( x \neq -\frac{1}{3} \) : \[ \mathrm{H}(x) =