2 L'ensemble \( \mathscr{W} \) est muni d'une base. Dans chacun des cas suivants, on donne les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \). (1) \( \vec{u}(1 ; 2 ; 3) \) et \( \quad \vec{v}(a ; 5 ; 0) \) (2) \( \vec{u}(1 ; 5 ; 3) \) et \( \quad \vec{v}(2+a ; 2 a+1 ; a) \) (3) \( \vec{u}(2 a-5 ; 19-4 a ;-3) \) et \( \quad \vec{v}\left(6 ; 15 ;-6\left(\frac{a}{7}+2\right)\right) \) Peut-on déterminer \( a \) pour que les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires ?

Pour que les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) soient colinéaires, il doit exister un réel \( k \) tel que \( \vec{v} = k \vec{u} \). Cela signifie que leurs coordonnées doivent satisfaire la proportionnalité. (1) Pour \( \vec{u}(1 ; 2 ; 3) \) et \( \vec{v}(a ; 5 ; 0) \), on résout les équations suivantes : \[ a = k \cdot 1 \] \[ 5 = k \cdot 2 \] \[ 0 = k \cdot 3 \] La dernière équation implique \( k = 0 \), donc \( a = 0 \) et en conséquence \( \vec{v} \) devient \( (0; 5; 0) \), ce qui n'est pas proportionnel à \( \vec{u} \). Donc, il n'y a pas de valeur de \( a \) qui rend \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires. (2) Pour \( \vec{u}(1 ; 5 ; 3) \) et \( \vec{v}(2+a ; 2a+1 ; a) \), nous établissons : \[ 2 + a = k \cdot 1 \] \[ 2a + 1 = k \cdot 5 \] \[ a = k \cdot 3 \] En égalant toutes les expressions de \( k \), on trouve une équation en \( a \) : 1. \( k = 2 + a \) 2. \( k = \frac{2a + 1}{5} \) 3. \( k = \frac{a}{3} \) En résolvant ces équations simultanément, on peut déterminer les valeurs possibles pour \( a \). (3) Pour \( \vec{u}(2a - 5 ; 19 - 4a ; -3) \) et \( \vec{v}(6 ; 15 ; -6(\frac{a}{7}+2)) \), nous écrivons les équations correspondantes : \[ 6 = k(2a - 5) \] \[ 15 = k(19 - 4a) \] \[ -6\left(\frac{a}{7}+2\right) = k(-3) \] De la même manière, en résolvant l'ensemble de ces équations, on peut identifier le(s) valeur(s) adéquates pour \( a \) afin de garantir la colinéarité des vecteurs.