Pregunta
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Find the reference angle for the angle \( -\frac{33 \pi}{4} \) The reference angle is Type your answer in radians. Txpe an integer or a simplified fraction.)

Ask by Simpson Turner. in the United States
Dec 03,2024

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The reference angle for \( -\frac{33\pi}{4} \) is \( \frac{\pi}{4} \).

Solución

To find the reference angle for the angle \( -\frac{33 \pi}{4} \), we first need to convert this angle into a positive angle by adding \( 2\pi \) until the angle is positive. 1. Calculate how many full rotations of \( 2\pi \) (which is \( \frac{8\pi}{4} \)) fit into \( -\frac{33\pi}{4} \): \[ -\frac{33\pi}{4} + 2\pi = -\frac{33\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{25\pi}{4} \] \[ -\frac{25\pi}{4} + 2\pi = -\frac{25\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{17\pi}{4} \] \[ -\frac{17\pi}{4} + 2\pi = -\frac{17\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4} \] \[ -\frac{9\pi}{4} + 2\pi = -\frac{9\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \] \[ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \] Now we have a positive angle \( \frac{7\pi}{4} \). 2. Next, we find the reference angle. The angle \( \frac{7\pi}{4} \) is in the fourth quadrant. The reference angle \( \theta' \) can be found using the formula: \[ \theta' = 2\pi - \theta \] where \( \theta = \frac{7\pi}{4} \): \[ \theta' = 2\pi - \frac{7\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \] Thus, the reference angle for \( -\frac{33\pi}{4} \) is: \[ \boxed{\frac{\pi}{4}} \]

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Bonus Knowledge

To find the reference angle for \( -\frac{33 \pi}{4} \), we first convert it to a positive angle by adding \( 2\pi \) (or \( \frac{8\pi}{4} \)) until we get a positive angle. Adding \( 2\pi \) multiple times gives us: \[ -\frac{33 \pi}{4} + 8\pi = -\frac{33 \pi}{4} + \frac{32 \pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \] Now, to convert \( -\frac{\pi}{4} \) to a positive angle: \[ -\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \] The angle \( \frac{7\pi}{4} \) lies in the fourth quadrant. The reference angle is calculated as: \[ 2\pi - \frac{7\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \] Thus, the reference angle for \( -\frac{33 \pi}{4} \) is: \[ \frac{\pi}{4} \]

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