klappen kann? Von einem Parallelogramm sind die Seitenlängen: \( a=6 \mathrm{~cm} \) und \( b=8 \mathrm{~cm} \) und der Winkel \( a=70^{\circ} \) gegeben. Wie gross ist der spitze Winkel mit dem sich die beiden Diagonalen schneiden.

1. Wir betrachten ein Parallelogramm mit den Seitenlängen \[ a = 6\,\text{cm} \quad \text{und} \quad b = 8\,\text{cm}, \] und dem eingeschlossenen Winkel \[ \alpha = 70^\circ. \] 2. Für die Diagonalenvektoren verwenden wir die Darstellung \[ \vec{d}_1 = \vec{a} + \vec{b} \quad \text{und} \quad \vec{d}_2 = \vec{b} - \vec{a}. \] 3. Der Winkel \( \theta \) zwischen diesen Diagonalenvektoren erhält man über das Skalarprodukt: \[ \cos\theta = \frac{\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2}{\|\vec{d}_1\|\,\|\vec{d}_2\|}. \] 4. Zunächst berechnen wir das Skalarprodukt: \[ \vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} - \vec{b}\cdot\vec{a}. \] Da \( \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a} \) kürzt sich heraus, sodass \[ \vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = b^2 - a^2. \] Einsetzen der Längen liefert: \[ b^2 - a^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28. \] 5. Die Längen der Diagonalen berechnen wir über die Parallelogrammformeln: \[ d_1 = \|\vec{a}+\vec{b}\| = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}, \] \[ d_2 = \|\vec{b}-\vec{a}\| = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}. \] Mit \( a^2+b^2 = 6^2+8^2 = 36+64 = 100 \) und \( 2ab = 2\cdot6\cdot8 = 96 \) sowie \( \cos70^\circ \approx 0.3420 \) erhalten wir: \[ d_1 = \sqrt{100 + 96\cdot0.3420} = \sqrt{100 + 32.832} = \sqrt{132.832} \approx 11.532\,\text{cm}, \] \[ d_2 = \sqrt{100 - 96\cdot0.3420} = \sqrt{100 - 32.832} = \sqrt{67.168} \approx 8.198\,\text{cm}. \] 6. Das Produkt der Diagonallängen ist daher: \[ d_1\,d_2 \approx 11.532\,\text{cm} \cdot 8.198\,\text{cm} \approx 94.87\,\text{cm}^2. \] 7. Einsetzen in die Formel für \( \cos\theta \) ergibt: \[ \cos\theta = \frac{28}{94.87} \approx 0.295. \] 8. Der Winkel \( \theta \) zwischen den Diagonalen ist somit \[ \theta = \arccos(0.295) \approx 73^\circ. \] 9. Damit beträgt der spitze Winkel, in dem sich die Diagonalen schneiden, etwa \[ 73^\circ. \]