68. Найдите объем шара, вписанного в конус, радиус основания ко- торого равен 1 , а образующая - 2 (рис. 42). 69. Найдите объем шара, описанного вокруг цилиндра, радиус осно- вания которого равен 3 , а высота -8 (рис. 43 ).

Задача 68. Найдите объем шара, вписанного в конус, радиус основания которого равен 1, а образующая – 2. 1. Определим высоту конуса. Образующая, радиус и высота связаны соотношением   l² = h² + R². Подставляем l = 2 и R = 1:   2² = h² + 1² ⟹ 4 = h² + 1 ⟹ h² = 3 ⟹ h = √3. 2. Рассмотрим сечение конуса плоскостью, содержащей ось симметрии. Оно представляет равнобедренный треугольник с вершиной в точке (0, h) и основанием на прямой y = 0 (основание конуса имеет точки (–1, 0) и (1, 0)). Шар вписан в конус, а его проекция в этом сечении – вписанная окружность. Пусть r – радиус шара (окружности вписанной в треугольник). Центр окружности расположим на оси симметрии, имеющей координаты (0, r) (так как окружность касается основания y = 0, то расстояние от центра до этой прямой равно r). 3. Найдем положение касания окружности с боковой стороной. Выберем правую сторону треугольника – прямую, проходящую через точки (0, √3) (вершина) и (1, 0). Найдем уравнение этой прямой:   m = (0 – √3)/(1 – 0) = –√3,   y – √3 = –√3·(x – 0), то есть   y = √3 – √3·x. Приведем уравнение к виду Ax + By + C = 0:   √3·x + y – √3 = 0. 4. Расстояние от центра окружности (0, r) до данной прямой равно   d = |√3·0 + r – √3| / √( (√3)² + 1² ) = |r – √3| / √(3 + 1) = (√3 – r)/2, поскольку r < √3. Для касания это расстояние должно быть равно r:   (√3 – r)/2 = r ⟹ √3 – r = 2r ⟹ √3 = 3r ⟹ r = √3/3. 5. Объем шара:   V = (4/3)·π·r³ = (4/3)·π·(√3/3)³. Вычислим (√3/3)³:   (√3)³ = 3√3, а 3³ = 27, значит, (√3/3)³ = (3√3)/27 = √3/9. Отсюда:   V = (4/3)·π·(√3/9) = (4π√3)/27. Ответ к задаче 68: Объем шара равен (4π√3)/27. -------------------------------------------------- Задача 69. Найдите объем шара, описанного вокруг цилиндра, радиус основания которого равен 3, а высота – 8. 1. Для описанного шара по цилиндру обычно выбирают такой шар, центр которого совпадает с центром цилиндра (то есть серединой высоты). Тогда радиус шара R определяется как расстояние от центра цилиндра до наиболее удаленной от центра точки цилиндра. Наиболее удалённая точка – это точка на верхней (или нижней) окружности основания, имеющая координаты (3, 4) (если принять, что центр цилиндра имеет координаты (0, 0) в горизонтальной плоскости и середину высоты равную 0, а расстояние по вертикали до края = 8/2 = 4). 2. Тогда радиус описанного шара равен:   R = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. 3. Объем шара:   V = (4/3)·π·R³ = (4/3)·π·125 = (500π)/3. Ответ к задаче 69: Объем описанного шара равен (500π)/3. -------------------------------------------------- Итак, окончательные ответы: 68. Объем шара, вписанного в конус, равен (4π√3)/27. 69. Объем шара, описанного вокруг цилиндра, равен (500π)/3.