Un triangolo rettangolo, avente un cateto di 8 cm e l'ipotenusa di 17 cm , costituisce la base di un prisma retto la cui altezza misura 23 cm . Calcola l'area laterale e l'area totale del prisma. [920 $$ \left.\mathrm{cm}^{2} ; 1040 \mathrm{~cm}^{2}\right] $$

Question

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\textbf{Dati:}
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- Un triangolo rettangolo con cateto $$a = 8 \text{ cm}$$ e ipotenusa $$c = 17 \text{ cm}$$.
- Altezza del prisma $$H = 23 \text{ cm}$$.

$$
\textbf{1. Calcolo del secondo cateto:}
$$

Nel triangolo rettangolo, mediante il teorema di Pitagora:
$$
a^2 + b^2 = c^2.
$$
Sostituendo i valori:
$$
8^2 + b^2 = 17^2 \quad \Rightarrow \quad 64 + b^2 = 289.
$$
Risolvendo per $$b^2$$:
$$
b^2 = 289 - 64 = 225 \quad \Rightarrow \quad b = 15 \text{ cm}.
$$

$$
\textbf{2. Calcolo del perimetro della base (triangolo):}
$$

La base ha lati $$8 \text{ cm}$$, $$15 \text{ cm}$$ e $$17 \text{ cm}$$. Quindi:
$$
P = 8 + 15 + 17 = 40 \text{ cm}.
$$

$$
\textbf{3. Calcolo dell'area laterale del prisma:}
$$

L'area laterale $$A_{\text{lat}}$$ di un prisma retto si ottiene moltiplicando il perimetro della base per l'altezza del prisma:
$$
A_{\text{lat}} = P \times H = 40 \text{ cm} \times 23 \text{ cm} = 920 \text{ cm}^2.
$$

$$
\textbf{4. Calcolo dell'area della base (triangolo):}
$$

L'area $$A_{\text{base}}$$ del triangolo rettangolo si calcola con:
$$
A_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times \text{cateto}_1 \times \text{cateto}_2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 15 = 60 \text{ cm}^2.
$$

$$
\textbf{5. Calcolo dell'area totale del prisma:}
$$

L'area totale $$A_{\text{tot}}$$ del prisma è data dall'area laterale più due volte l'area della base:
$$
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + 2 \times A_{\text{base}} = 920 \text{ cm}^2 + 2 \times 60 \text{ cm}^2 = 920 \text{ cm}^2 + 120 \text{ cm}^2 = 1040 \text{ cm}^2.
$$

$$
\boxed{A_{\text{lat}} = 920 \text{ cm}^2 \quad \text{e} \quad A_{\text{tot}} = 1040 \text{ cm}^2.}
$$
L'area laterale del prisma è 920 cm² e l'area totale è 1040 cm².

Un triangolo rettangolo, avente un cateto di 8 cm e l'ipotenusa di 17 cm , costituisce la base di un prisma retto la cui altezza misura 23 cm . Calcola l'area laterale e l'area totale del prisma. [920 \( \left.\mathrm{cm}^{2} ; 1040 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

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