La superficie laterale di un cono misura \( 800 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) e la sua superficie totale misura \( 1200 \pi \mathrm{~cm}^{2} \). Calcola a) il raggio di base del cono b) l'apotema del cono. \( [20 \mathrm{~cm} ; 40 \mathrm{~cm}] \)

Per calcolare il raggio di base del cono, utilizziamo la formula per la superficie laterale \( S_L = \pi r a \), dove \( r \) è il raggio e \( a \) è l'apotema del cono. Dato che la superficie laterale è \( 800 \pi \mathrm{~cm}^{2} \), possiamo scrivere l'equazione: \[ \pi r a = 800 \pi \] Da cui otteniamo \( r a = 800 \). Ora consideriamo la superficie totale \( S_T = \pi r (r + a) \), e sappiamo che \( S_T = 1200 \pi \mathrm{~cm}^{2} \): \[ \pi r (r + a) = 1200 \pi \] Da cui otteniamo \( r (r + a) = 1200 \). Ora abbiamo il sistema di equazioni: 1. \( r a = 800 \) 2. \( r (r + a) = 1200 \) Sostituiamo \( a = \frac{800}{r} \) nella seconda equazione: \[ r \left( r + \frac{800}{r} \right) = 1200 \] \[ r^2 + 800 = 1200 \] \[ r^2 = 400 \quad \Rightarrow \quad r = 20 \, \text{cm} \] Ora calcoliamo l'apotema \( a \): \[ a = \frac{800}{20} = 40 \, \text{cm} \] Quindi: a) Il raggio di base del cono è \( 20 \, \text{cm} \). b) L'apotema del cono è \( 40 \, \text{cm} \).