40. Considere los puntos $$ P $$ tales que la distancia de $$ P $$ a $$ A(-1,5 $$, es dos veces la distancia de $$ P $$ a $$ B(6,2,-2) $$. Demuestre que el conjunto de estos puntos es una esfera y determine su cent y radio.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema, comenzaremos por definir los puntos y las distancias involucradas.

1. **Definición de los puntos**:
   - Sea $$ P(x, y, z) $$ un punto en el espacio.
   - El punto $$ A $$ tiene coordenadas $$ A(-1, 5, 0) $$ (asumimos que la coordenada $$ z $$ es 0 ya que no se menciona).
   - El punto $$ B $$ tiene coordenadas $$ B(6, 2, -2) $$.

2. **Distancias**:
   - La distancia de $$ P $$ a $$ A $$ se puede calcular usando la fórmula de la distancia en el espacio tridimensional:
     $$
     d(P, A) = \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 5)^2 + z^2}
     $$
   - La distancia de $$ P $$ a $$ B $$ es:
     $$
     d(P, B) = \sqrt{(x - 6)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2}
     $$

3. **Condición del problema**:
   - Según el enunciado, la distancia de $$ P $$ a $$ A $$ es dos veces la distancia de $$ P $$ a $$ B $$:
     $$
     d(P, A) = 2 \cdot d(P, B)
     $$

4. **Sustitución de las distancias**:
   - Sustituyendo las expresiones de las distancias en la ecuación, tenemos:
     $$
     \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 5)^2 + z^2} = 2 \cdot \sqrt{(x - 6)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2}
     $$

5. **Elevando al cuadrado ambos lados**:
   - Para eliminar las raíces, elevamos al cuadrado:
     $$
     (x + 1)^2 + (y - 5)^2 + z^2 = 4 \cdot \left((x - 6)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2\right)
     $$

6. **Expansión de ambos lados**:
   - Expandiendo el lado izquierdo:
     $$
     (x + 1)^2 + (y - 5)^2 + z^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 + z^2
     $$
     $$
     = x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 10y + 26
     $$
   - Expandiendo el lado derecho:
     $$
     4 \cdot \left((x - 6)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2\right) = 4 \cdot (x^2 - 12x + 36 + y^2 - 4y + 4 + z^2 + 4z + 4)
     $$
     $$
     = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2 - 16y + 16 + 4z^2 + 16z + 16
     $$
     $$
     = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 48x - 16y + 144 + 16 + 16
     $$
     $$
     = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 48x - 16y + 176
     $$

7. **Igualando y simplificando**:
   - Igualamos ambos lados:
     $$
     x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 10y + 26 = 4x^2 + 4y^2 + 4z^2 - 48x - 16y + 176
     $$
   - Reorganizando:
     $$
     0 = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 50x - 6y + 150
     $$
   - Dividiendo todo entre 3:
     $$
     0 = x^2 + y^2 + z^2 - \frac{50}{3}x - 2y + 50
     $$

8. **Completar el cuadrado**:
   - Para $$ x $$:
     $$
     x^2 - \frac{50}{3}x = \left(x - \frac{25}{3}\right)^2 - \frac{625}{9}
     $$
   - Para $$ y $$:
     $$
     y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
     $$
   - Sustituyendo en la ecuación:
     $$
     \left(x - \frac{25}{3}\right)^2 - \frac{625}{9} + (y - 1)^2 - 1 + z^2 + 50 = 0
     $$
   - Simplificando:
     $$
     \left(x - \frac{25}{3}\right)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = \frac{625}{9} + 1 - 50
     $$
     $$
     = \frac{625}{9} + \frac{9}{9} - \frac{450}{9} = \frac{625 + 9 - 450}{9} = \frac{184}{9}
     $$

9. **Resultado final**:
   - La ecuación de la esfera es:
     $$
     \left(x - \frac{25}{3}\right)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = \frac{184}{9}
     $$
   - El centro de la esfera es $$ C\left(\frac{25}{3}, 1, 0\right) $$ y el radio es $$ r = \sqrt{\frac{184}{9}} = \frac{\sqrt{184}}{3} = \frac{2\sqrt{46}}{3} $$.

Por lo tanto, hemos demostrado que el conjunto de puntos $$ P $$ es una esfera con centro $$ C\left(\frac{25}{3}, 1, 0\right) $$ y radio $$ \frac{2\sqrt{46}}{3} $$.
El conjunto de puntos $$ P $$ forma una esfera con centro en $$ \left(\frac{25}{3}, 1, 0\right) $$ y radio $$ \frac{2\sqrt{46}}{3} $$.

40. Considere los puntos \( P \) tales que la distancia de \( P \) a \( A(-1,5 \), es dos veces la distancia de \( P \) a \( B(6,2,-2) \). Demuestre que el conjunto de estos puntos es una esfera y determine su cent y radio.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Mind Expander

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions