5. Calcule el volumen del sólido acotado por \( z=2 y \) y el paraboloide \( z=9-x^{2} \) \( -3 y^{2} \)

Queremos calcular el volumen del sólido acotado por las superficies   z = 2y       (1)   z = 9 – x² – 3y²  (2) Esto significa que el sólido consiste en los puntos (x, y, z) tales que, en la proyección D sobre el plano xy, para cada (x,y) se tiene   2y ≤ z ≤ 9 – x² – 3y². El volumen se obtiene integrando la diferencia de las dos superficies sobre D:   V = ∬₍ₓ,ᵧ∈D₎ [ (9 – x² – 3y²) – 2y ] dA. Pasos para resolver el problema: ────────────────────────────── 1. Determinar la región D: La intersección (la curva donde se igualan las dos superficies) se obtiene igualando (1) y (2):   2y = 9 – x² – 3y² Llevamos todo al mismo lado:   x² + 3y² + 2y – 9 = 0. Para describir la región, completamos el cuadrado en y. Escribimos:   3y² + 2y = 3 [y² + (2/3)y]. Completamos el cuadrado dentro del corchete:   y² + (2/3)y = (y + 1/3)² – 1/9. Por lo tanto,   3 [ (y + 1/3)² – 1/9 ] = 3 (y + 1/3)² – 1/3. La ecuación de la curva se escribe como:   x² + 3 (y + 1/3)² – 1/3 – 9 = 0  =>  x² + 3 (y + 1/3)² = 9 + 1/3 = 28/3. Así, la proyección D es la región elíptica   x² + 3 (y + 1/3)² ≤ 28/3. ────────────────────────────── 2. Cambio de variable: traslación en y Definimos:   Y = y + 1/3   ⇔  y = Y – 1/3. Al trasladar la variable, la ecuación de la región se transforma en:   x² + 3Y² ≤ 28/3. Además, al sustituir en la función integrando, se tiene:   (9 – x² – 3y²) – 2y = (9 – x² – 3(y)²) – 2y. Sustituimos y = Y – 1/3 y calculamos paso a paso: Primero, note que   y² = (Y – 1/3)² = Y² – (2/3)Y + 1/9. Luego,   3y² = 3Y² – 2Y + 1/3   2y = 2Y – 2/3. Por ello, la resta es:   9 – x² – [3Y² – 2Y + 1/3] – [2Y – 2/3]    = 9 – x² – 3Y² + 2Y – 1/3 – 2Y + 2/3    = 9 – x² – 3Y² + (2Y – 2Y) + (2/3 – 1/3)    = 9 – x² – 3Y² + 1/3    = (27/3 + 1/3) – x² – 3Y² = (28/3) – x² – 3Y². Ahora la integral del volumen se expresa (recordando que dA = dx dy y que dy = dY) como:   V = ∬₍ₓ,ᵧ∈D₎ [ (28/3) – x² – 3Y² ] dx dY, con la región   x² + 3Y² ≤ 28/3. ────────────────────────────── 3. Cambio a coordenadas elípticas (o “estiradas”): Definimos una nueva sustitución:   u = x     yields du = dx,   v = √3 Y    ⇒ Y = v/√3     dY = dv/√3. El jacobiano es: |J| = 1/√3. La región se transforma. Como   x² + 3Y² = u² + 3 (v/√3)² = u² + v², la ecuación de la región es:   u² + v² ≤ 28/3. El integrando se transforma también:   x² + 3Y² = u² + v², por lo que   (28/3) – x² – 3Y² = (28/3) – (u² + v²). La integral del volumen es:   V = ∬₍ᵤ²₊ᵥ² ≤ 28/3₎ [ (28/3) – (u² + v²) ] · (1/√3) du dv. ────────────────────────────── 4. Uso de coordenadas polares en (u,v): Sea:   u = r cosθ, v = r sinθ, con r ∈ [0, R] y θ ∈ [0, 2π], donde R² = 28/3. Además, du dv = r dr dθ. La integral queda:   V = 1/√3 ∫₀^(2π) ∫₀^(√(28/3)) [ (28/3) – r² ] r dr dθ. Calculemos la integral radial:   I = ∫₀^(R) [ (28/3) – r² ] r dr = ∫₀^(R) [(28/3)r – r³] dr. Realizamos la integración:   I = (28/3) (r²/2)|₀^(R) – (r⁴/4)|₀^(R) = (28/3)(R²/2) – (R⁴/4). Recordando que R² = 28/3, entonces R⁴ = (28/3)² = 784/9. Por lo tanto:   I = (28·R²)/(6) – (784/9)/4 = (28·(28/3))/(6) – (784/36). Calculamos:   28·(28/3) = 784/3, luego:   I = (784/3)/6 – (784/36) = 784/18 – 784/36 = (784/36) (2 – 1) = 784/36 = 196/9. La integral angular es:   ∫₀^(2π) dθ = 2π. Por lo tanto, el volumen es:   V = (1/√3) · (2π) · (196/9) = (392π)/(9√3). ────────────────────────────── Respuesta final: El volumen del sólido es   V = (392π)/(9√3) (unidades cúbicas). Esta es una solución completa del problema.