Erafica las siguientes ecuacior $$ y=x^{3} $$ $$ 2 x^{2}+4 y=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

```markdown
### 1. Graficar $$ y=x^3 $$

1. **Forma de la función:**  
   La función es un polinomio de grado 3, lo que indica que es una función cúbica. Tiene la forma:
   $$
   y=x^3
   $$
   
2. **Características principales:**  
   - **Dominio y rango:**  
     Tanto el dominio como el rango son todos los números reales, es decir:  
     $$
     \text{Dominio: } (-\infty, \infty), \quad \text{Rango: } (-\infty, \infty)
     $$
   - **Simetría:**  
     Es una función **impar**, lo que implica que tiene simetría rotacional de $$180^\circ$$ respecto al origen.  
   - **Comportamiento:**  
     La función es creciente en todo su dominio. Para valores negativos de $$x$$, $$y$$ es negativo, y para valores positivos, $$y$$ es positivo.

3. **Puntos de referencia:**  
   Puedes evaluar algunos puntos importantes:
   - Para $$ x=-2 $$:  
     $$
     y=(-2)^3=-8
     $$
   - Para $$ x=-1 $$:  
     $$
     y=(-1)^3=-1
     $$
   - Para $$ x=0 $$:  
     $$
     y=0^3=0
     $$
   - Para $$ x=1 $$:  
     $$
     y=1^3=1
     $$
   - Para $$ x=2 $$:  
     $$
     y=2^3=8
     $$

4. **Procedimiento de graficación:**  
   - Dibuja los ejes coordenados.
   - Marca el origen y los puntos de referencia obtenidos.
   - Traza una curva suave que pase por estos puntos, asegurándote de que la curva es creciente y mantenga la simetría respecto al origen.

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### 2. Graficar $$ 2x^{2}+4y=0 $$

1. **Reescribir la ecuación en forma explícita:**  
   Para graficar la función, primero despejamos $$y$$:
   $$
   2x^2 + 4y = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4y = -2x^2 \quad \Longrightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x^2
   $$

2. **Forma de la función:**  
   La ecuación se reduce a:
   $$
   y = -\frac{1}{2}x^2
   $$
   Es una función cuadrática que representa una parábola que abre hacia abajo.

3. **Características principales:**  
   - **Dominio y rango:**  
     $$
     \text{Dominio: } (-\infty, \infty), \quad \text{Rango: } (-\infty, 0]
     $$
   - **Vértice:**  
     El vértice se encuentra en el origen $$(0,0)$$, ya que al sustituir $$x=0$$ se obtiene $$y=0$$.
   - **Simetría:**  
     La parábola es simétrica respecto al eje $$y$$ (la línea vertical $$x=0$$).

4. **Puntos de referencia:**  
   Evaluemos algunos puntos:
   - Para $$ x=1 $$:
     $$
     y = -\frac{1}{2}(1)^2 = -\frac{1}{2}
     $$
   - Para $$ x=-1 $$:
     $$
     y = -\frac{1}{2}(-1)^2 = -\frac{1}{2}
     $$
   - Para $$ x=2 $$:
     $$
     y = -\frac{1}{2}(2)^2 = -\frac{1}{2}(4) = -2
     $$
   - Para $$ x=-2 $$:
     $$
     y = -\frac{1}{2}(-2)^2 = -2
     $$

5. **Procedimiento de graficación:**  
   - Dibuja los ejes coordenados.
   - Marca el origen y los puntos evaluados.
   - Dibuja la parábola abriéndose hacia abajo, asegurándote de mantener la simetría respecto al eje $$y$$.

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### Resumen de la solución

- La gráfica de $$ y=x^3 $$ es una curva cúbica que pasa por el origen, es creciente en todo el dominio y es simétrica respecto al origen.
- La gráfica de $$ 2x^{2}+4y=0 $$, que equivale a $$ y=-\frac{1}{2}x^2 $$, es una parábola que abre hacia abajo con vértice en el origen y es simétrica respecto al eje $$y$$.
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Para graficar $$ y = x^3 $$, traza una curva cúbica que pasa por el origen, es creciente en todo el dominio y es simétrica respecto al origen. Para $$ 2x^{2} + 4y = 0 $$, escribe la ecuación como $$ y = -\frac{1}{2}x^2 $$ y grafica una parábola que abre hacia abajo con vértice en el origen, simétrica respecto al eje $$y$$.

Erafica las siguientes ecuacior \( y=x^{3} \) \( 2 x^{2}+4 y=0 \)

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