Encontrar el area bajo la curva de \( y=x^{2}-1 \) en el intervalo de \( [1,3] \)

Para encontrar el área bajo la curva de la función \( y = x^2 - 1 \) en el intervalo de \( [1,3] \), podemos utilizar la fórmula del área bajo una curva: \[ \text{Área} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] En este caso, la función es \( f(x) = x^2 - 1 \) y el intervalo es \( [1,3] \). Por lo tanto, la fórmula se convierte en: \[ \text{Área} = \int_{1}^{3} (x^2 - 1) \, dx \] Ahora, podemos calcular el área integrando la función \( x^2 - 1 \) desde \( x = 1 \) hasta \( x = 3 \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{1}^{3} \left(x^{2}-1\right) dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \left(x^{2}-1\right) dx\) - step2: Use properties of integrals: \(\int x^{2} dx+\int -1 dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\frac{x^{3}}{3}+\int -1 dx\) - step4: Evaluate the integral: \(\frac{x^{3}}{3}-x\) - step5: Return the limits: \(\left(\frac{x^{3}}{3}-x\right)\bigg |_{1}^{3}\) - step6: Calculate the value: \(\frac{20}{3}\) El área bajo la curva de la función \( y = x^2 - 1 \) en el intervalo de \( [1,3] \) es \( \frac{20}{3} \) o \( 6\frac{2}{3} \) o \( 6.\dot{6} \).