62. Obtén vectores unitarios en las direcciones que forman con el vector $$ \vec{u}=(1,3) $$ un ángulo de $$ 45^{\circ} $$. ¿Cómo son entre sí di- chos vectores?

Question

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Para encontrar los vectores unitarios que forman un ángulo de $$ 45^{\circ} $$ con el vector $$ \vec{u} = (1, 3) $$, seguiremos estos pasos:

1. **Encontrar el módulo del vector $$ \vec{u} $$**:
   El módulo de un vector $$ \vec{u} = (x, y) $$ se calcula como:
   $$
   ||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}
   $$
   En este caso, $$ x = 1 $$ y $$ y = 3 $$.

2. **Calcular el módulo**:
   $$
   ||\vec{u}|| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
   $$

3. **Encontrar los vectores unitarios**:
   Un vector unitario en la dirección de $$ \vec{u} $$ se obtiene dividiendo $$ \vec{u} $$ por su módulo:
   $$
   \hat{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}} \right)
   $$

4. **Encontrar los vectores que forman un ángulo de $$ 45^{\circ} $$**:
   Para encontrar los vectores que forman un ángulo de $$ 45^{\circ} $$ con $$ \vec{u} $$, utilizamos la fórmula del producto punto:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)
   $$
   Donde $$ \theta = 45^{\circ} $$ y $$ ||\vec{v}|| = 1 $$ (ya que buscamos vectores unitarios).

Entonces, tenemos:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot \cos(45^{\circ}) = \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}
   $$

5. **Plantear la ecuación**:
   Sea $$ \vec{v} = (x, y) $$, entonces:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot x + 3 \cdot y = \sqrt{5}
   $$
   Esto nos da la ecuación:
   $$
   x + 3y = \sqrt{5}
   $$

6. **Encontrar los vectores unitarios**:
   Para encontrar los vectores unitarios que cumplen esta condición, podemos parametrizar $$ y $$ y resolver para $$ x $$:
   $$
   x = \sqrt{5} - 3y
   $$
   Para que $$ \vec{v} $$ sea un vector unitario, debe cumplir:
   $$
   x^2 + y^2 = 1
   $$
   Sustituyendo $$ x $$:
   $$
   (\sqrt{5} - 3y)^2 + y^2 = 1
   $$

7. **Resolver la ecuación**:
   Expandimos y simplificamos:
   $$
   5 - 6\sqrt{5}y + 9y^2 + y^2 = 1
   $$
   $$
   10y^2 - 6\sqrt{5}y + 4 = 0
   $$

Ahora, aplicamos la fórmula cuadrática:
   $$
   y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   donde $$ a = 10, b = -6\sqrt{5}, c = 4 $$.

8. **Calcular los valores de $$ y $$**:
   Primero, calculamos el discriminante:
   $$
   b^2 - 4ac = (-6\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 10 \cdot 4 = 180 - 160 = 20
   $$
   Ahora, calculamos $$ y $$:
   $$
   y = \frac{6\sqrt{5} \pm \sqrt{20}}{20} = \frac{6\sqrt{5} \pm 2\sqrt{5}}{20} = \frac{(6 \pm 2)\sqrt{5}}{20}
   $$
   Esto nos da dos soluciones para $$ y $$:
   $$
   y_1 = \frac{8\sqrt{5}}{20} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad y_2 = \frac{4\sqrt{5}}{20} = \frac{\sqrt{5}}{5}
   $$

9. **Calcular los correspondientes $$ x $$**:
   Para $$ y_1 $$:
   $$
   x_1 = \sqrt{5} - 3\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) = \sqrt{5} - \frac{6\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{5}
   $$
   Para $$ y_2 $$:
   $$
   x_2 = \sqrt{5} - 3\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \sqrt{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
   $$

10. **Vectores unitarios**:
   Los vectores unitarios que forman un ángulo de $$ 45^{\circ} $$ con $$ \vec{u} $$ son:
   $$
   \vec{v_1} = \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right), \quad \vec{v_2} = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
   $$

11. **Relación entre los vectores**:
   Estos vectores son ortogonales entre sí, ya que el ángulo entre ellos es $$ 90^{\circ} $$ (ya que forman un ángulo de $$ 45^{\circ} $$ con $$ \vec{u} $$ y son simétricos respecto a $$ \vec{u} $$).

Por lo tanto, los vectores unitarios que forman un ángulo de $$ 45^{\circ} $$ con $$ \vec{u} $$ son $$ \vec{v_1} $$ y $$ \vec{v_2} $$, y son ortogonales
Los vectores unitarios que forman un ángulo de $$ 45^{\circ} $$ con $$ \vec{u} = (1, 3) $$ son: $$ \vec{v_1} = \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5}\right) \quad \text{y} \quad \vec{v_2} = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right) $$ Estos vectores son ortogonales entre sí.

62. Obtén vectores unitarios en las direcciones que forman con el vector \( \vec{u}=(1,3) \) un ángulo de \( 45^{\circ} \). ¿Cómo son entre sí di- chos vectores?

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