a) Dados los vectores \( \vec{u}=(\lambda,-1, \lambda) \) y \( \vec{v}=\left(\lambda,-9, \frac{d}{6}\right) \) Hallar \( \lambda \in \mathbb{R} \) para que los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) sean ortoconales

Para que dos vectores sean ortogonales se debe cumplir que su producto punto sea igual a \( 0 \). Dados \[ \vec{u}=(\lambda,-1,\lambda) \quad \text{y} \quad \vec{v}=\left(\lambda,-9, \frac{d}{6}\right), \] el producto punto es \[ \vec{u}\cdot\vec{v} = \lambda \cdot \lambda + (-1) \cdot (-9) + \lambda \cdot \frac{d}{6}. \] Procedamos paso a paso: 1. Calculemos cada término: - Primer término: \( \lambda \cdot \lambda = \lambda^2 \). - Segundo término: \( (-1)(-9)=9 \). - Tercer término: \( \lambda \cdot \frac{d}{6} = \frac{d\lambda}{6} \). 2. Por lo tanto, el producto punto se expresa como \[ \lambda^2 + 9 + \frac{d\,\lambda}{6} = 0. \] 3. Esta ecuación es una ecuación cuadrática en \(\lambda\): \[ \lambda^2 + \frac{d}{6}\lambda + 9 = 0. \] 4. Para obtener las soluciones en \(\lambda\) utilizamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, donde \(a=1\), \(b=\frac{d}{6}\) y \(c=9\): \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Sustituyendo: \[ \lambda = \frac{-\frac{d}{6} \pm \sqrt{\left(\frac{d}{6}\right)^2 - 4\cdot1\cdot9}}{2}. \] 5. Simplifiquemos la expresión: - Primero, calculemos el discriminante: \[ \left(\frac{d}{6}\right)^2 - 4\cdot9 = \frac{d^2}{36} - 36. \] - Para escribir el discriminante con denominador común, notemos que \(36 = \frac{36\cdot36}{36} = \frac{1296}{36}\). Así, \[ \frac{d^2}{36} - 36 = \frac{d^2 - 1296}{36}. \] 6. Entonces la expresión para \(\lambda\) queda: \[ \lambda = \frac{-\frac{d}{6} \pm \sqrt{\frac{d^2-1296}{36}}}{2} = \frac{-\frac{d}{6} \pm \frac{\sqrt{d^2-1296}}{6}}{2}. \] 7. Simplificando dividiendo numerador y denominador por \(2\): \[ \lambda = \frac{-d \pm \sqrt{d^2-1296}}{12}. \] 8. Es importante notar que para que \(\lambda\) sea un número real el discriminante debe ser no negativo: \[ d^2-1296 \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad d^2 \ge 1296, \] lo que implica que \[ |d| \ge 36. \] Por lo tanto, los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) serán ortogonales si y solo si \[ \lambda = \frac{-d \pm \sqrt{d^2-1296}}{12} \quad \text{con} \quad |d|\ge 36. \]