1.) Diferencia de funciones c.-) $$ y=(a x+b)^{3} \ln (a x+b) $$

Question

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Para diferenciar la función $$ y = (a x + b)^{3} \ln(a x + b) $$, utilizaremos la **regla del producto** y la **regla de la cadena**. A continuación, se muestra el proceso paso a paso:

### Paso 1: Identificar las funciones

Sea:
- $$ u(x) = (a x + b)^{3} $$
- $$ v(x) = \ln(a x + b) $$

### Paso 2: Aplicar la regla del producto

La derivada de $$ y $$ respecto a $$ x $$ es:
$$
y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$

### Paso 3: Calcular las derivadas individuales

1. **Derivada de $$ u(x) $$:**
$$
u'(x) = \frac{d}{dx} (a x + b)^{3} = 3(a x + b)^{2} \cdot a = 3a(a x + b)^{2}
$$

2. **Derivada de $$ v(x) $$:**
$$
v'(x) = \frac{d}{dx} \ln(a x + b) = \frac{1}{a x + b} \cdot a = \frac{a}{a x + b}
$$

### Paso 4: Sustituir las derivadas en la regla del producto

$$
y' = 3a(a x + b)^{2} \cdot \ln(a x + b) + (a x + b)^{3} \cdot \frac{a}{a x + b}
$$

### Paso 5: Simplificar la expresión

Simplificamos el segundo término:
$$
(a x + b)^{3} \cdot \frac{a}{a x + b} = a(a x + b)^{2}
$$

Entonces, la derivada simplificada es:
$$
y' = 3a(a x + b)^{2} \ln(a x + b) + a(a x + b)^{2}
$$

Factorizamos $$ a(a x + b)^{2} $$ del término común:
$$
y' = a(a x + b)^{2} \left[ 3 \ln(a x + b) + 1 \right]
$$

### Resultado Final

$$
y' = a(a x + b)^{2} \left( 3 \ln(a x + b) + 1 \right)
$$
La derivada de $$ y = (a x + b)^{3} \ln(a x + b) $$ es: $$ y' = a(a x + b)^{2} \left( 3 \ln(a x + b) + 1 \right) $$

1.) Diferencia de funciones c.-) \( y=(a x+b)^{3} \ln (a x+b) \)

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