PROVA TU Durante una gara, un atleta lancia il giavellotto con una velocita iniziale di \( 56 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) e un angolo di \( 49^{\circ} \) rispetio allorizzontale. Il giavellotto lascia la mano del lanciatore a unaltezza di \( 1,8 \mathrm{~m} \). Calcola l'altezza massima raggounta dal giavellotto e in quale istante la raggiunge.

Per risolvere il problema, dobbiamo calcolare l'altezza massima raggiunta dal giavellotto e il tempo necessario per raggiungerla. Seguiamo i seguenti passaggi: ### 1. Estrazione delle condizioni note - Velocità iniziale \( v_0 = 56 \, \text{km/h} \) - Angolo di lancio \( \theta = 49^\circ \) - Altezza iniziale \( h_0 = 1.8 \, \text{m} \) ### 2. Conversione della velocità Convertiamo la velocità iniziale da km/h a m/s: \[ v_0 = 56 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = \frac{56000}{3600} \, \text{m/s} \approx 15.56 \, \text{m/s} \] ### 3. Calcolo delle componenti della velocità Calcoliamo le componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale: \[ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \] \[ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \] ### 4. Calcolo dell'altezza massima L'altezza massima \( h \) può essere calcolata usando la formula: \[ h = h_0 + \frac{v_{0y}^2}{2g} \] dove \( g \) è l'accelerazione di gravità (approssimativamente \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)). ### 5. Calcolo del tempo per raggiungere l'altezza massima Il tempo \( t \) per raggiungere l'altezza massima può essere calcolato con: \[ t = \frac{v_{0y}}{g} \] Ora procediamo con i calcoli. Iniziamo calcolando \( v_{0y} \) e \( v_{0x} \), quindi calcoliamo l'altezza massima e il tempo. ### Calcoli Calcoliamo \( v_{0y} \) e \( v_{0x} \): \[ v_{0y} = 15.56 \cdot \sin(49^\circ) \] \[ v_{0x} = 15.56 \cdot \cos(49^\circ) \] Procediamo con i calcoli. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(15.56\sin\left(49\right)\) - step1: Simplify: \(-14.840391\) Calculate or simplify the expression \( 15.56 * \cos(49) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(15.56\cos\left(49\right)\) - step1: Simplify: \(4.67722\) Calculate or simplify the expression \( 14.840391 / 9.81 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{14.840391}{9.81}\) - step1: Convert the expressions: \(\frac{\frac{14840391}{1000000}}{\frac{981}{100}}\) - step2: Multiply by the reciprocal: \(\frac{14840391}{1000000}\times \frac{100}{981}\) - step3: Reduce the numbers: \(\frac{4946797}{10000}\times \frac{1}{327}\) - step4: Multiply the fractions: \(\frac{4946797}{10000\times 327}\) - step5: Multiply: \(\frac{4946797}{3270000}\) Calculate or simplify the expression \( 1.8 + (14.840391^2) / (2 * 9.81) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(1.8+\frac{14.840391^{2}}{\left(2\times 9.81\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(1.8+\frac{14.840391^{2}}{2\times 9.81}\) - step2: Convert the expressions: \(1.8+\frac{\left(\frac{14840391}{1000000}\right)^{2}}{2\times 9.81}\) - step3: Multiply the numbers: \(1.8+\frac{\left(\frac{14840391}{1000000}\right)^{2}}{19.62}\) - step4: Divide the numbers: \(1.8+\frac{4946797^{2}}{6976\times 50^{5}}\) - step5: Convert the expressions: \(\frac{9}{5}+\frac{4946797^{2}}{6976\times 50^{5}}\) - step6: Reduce fractions to a common denominator: \(\frac{9\times 436000000000}{5\times 436000000000}+\frac{4946797^{2}}{6976\times 50^{5}}\) - step7: Multiply the numbers: \(\frac{9\times 436000000000}{2180000000000}+\frac{4946797^{2}}{6976\times 50^{5}}\) - step8: Rewrite the expression: \(\frac{9\times 436000000000}{6976\times 50^{5}}+\frac{4946797^{2}}{6976\times 50^{5}}\) - step9: Transform the expression: \(\frac{9\times 436000000000+4946797^{2}}{6976\times 50^{5}}\) - step10: Multiply the numbers: \(\frac{3924000000000+4946797^{2}}{6976\times 50^{5}}\) ### Risultati dei calcoli 1. **Componenti della velocità**: - \( v_{0y} \approx 14.84 \, \text{m/s} \) (componente verticale) - \( v_{0x} \approx 4.68 \, \text{m/s} \) (componente orizzontale) 2. **Altezza massima**: Utilizzando la formula per calcolare l'altezza massima: \[ h = 1.8 + \frac{(14.84)^2}{2 \cdot 9.81} \approx 1.8 + 11.22 \approx 13.02 \, \text{m} \] 3. **Tempo per raggiungere l'altezza massima**: Utilizzando la formula per calcolare il tempo: \[ t = \frac{14.84}{9.81} \approx 1.51 \, \text{s} \] ### Risultato finale - **Altezza massima raggiunta dal giavellotto**: \( \approx 13.02 \, \text{m} \) - **Tempo per raggiungere l'altezza massima**: \( \approx 1.51 \, \text{s} \) Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti o calcoli, fammi sapere!