Using substitution, evaluate the integral ∫(x sin(x^2)) dx.

Verilen integrali çözmek için, \( u \) değişkenini \( u = x^2 \) olarak seçelim. Bu durumda, \( du = 2x \, dx \) veya \( dx = \frac{du}{2x} \) olur. Ancak, \( x \) ifadesini \( u \) cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Buradan \( x = \sqrt{u} \) elde ederiz. Şimdi integralimizi yeniden yazalım: \[ \int x \sin(x^2) \, dx = \int x \sin(u) \cdot \frac{du}{2x} \] Burada \( x \) terimleri birbirini götürür: \[ = \int \frac{1}{2} \sin(u) \, du \] Bu integrali çözelim: \[ = \frac{1}{2} \int \sin(u) \, du = -\frac{1}{2} \cos(u) + C \] Son olarak, \( u \) değerini \( x^2 \) ile değiştirelim: \[ = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \] Sonuç olarak, integralin değeri: \[ \int x \sin(x^2) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C \]