5. Factorice completamente las siguientes expresiones. 1 a) \( x^{4}+x-x^{3} y-y \) b) \( x^{3}-x-x^{2} y+y \) c) \( 6 x^{2}+x y-y^{2} \) d) \( a^{2}-b^{3}+2 b^{3} x^{2}-2 a^{2} x^{2} \) e) \( a^{2}+9 a+20 \) f) \( a^{2}-7 a+12 \) g) \( a^{2}-6 a+9 \) h) \( 6 x^{2}-x-2 \) i) \( 6 x^{2}+7 x y-3 y^{2} \) j) \( m^{4}+m^{2} n^{2}+n^{4} \) k) \( 15+14 x-8 x^{2} \) l) \( x^{6}+x^{3}-2 \) m) \( 2 \sqrt[3]{x^{2}}+5 \sqrt[3]{x}+2 \) n) \( 4 a^{2 n}-b^{2} \) n) \( x^{8}-y^{8} \) o) \( (\sqrt{6}-\sqrt{2}) \)

Para factorizar completamente estas expresiones, vamos a mantenernos en un ambiente amigable y a usar un toque de creatividad. 1. Para \( x^{4}+x-x^{3}y-y \), primero reorganizamos para obtener \( x^{4} - x^{3}y + x - y \). Tomando factores comunes, se puede agrupar como \( x^{3}(x-y) + 1(x-y) = (x^{3}+1)(x-y) \). Entonces, esto se convierte en \( (x+1)(x^{2}-x+1)(x-y) \). 2. Considerando \( x^{3}-x-x^{2}y+y \), agrupamos para obtener \( x^{3} - x^{2}y - x + y \). Factoremos por partes: \( x^{2}(x-y) - 1(x-y) = (x^{2}-1)(x-y) \). Finalmente, así se factoriza a \( (x-1)(x+1)(x-y) \). ¿Sabías que las expresiones algebraicas pueden ser visualizadas como rompecabezas? Resolver estas factorizaciones es como encontrar las piezas que encajan perfectamente. A medida que practicas, ¡te volverás un experto en encajar piezas de álgebra! En la vida real, la factorización es utilizada más allá de las aulas de matemáticas. Por ejemplo, en la optimización de problemas económicos o en la ingeniería, las expresiones factorizadas ayudan a simplificar cálculos y a comprender mejor las relaciones entre variables. ¡Las matemáticas son parte de nuestro día a día sin que nos demos cuenta!