22. Résoudre algébriquement pour $$ x
eq-3 $$. $$ \begin{array}{ll} ext { a. } \frac{1}{x+3}=5 & ext { b. } \frac{1}{x+3}5 \ ext { c. } \frac{1}{x+3} \leqslant 5 & ext { d. } \frac{1}{x+3}-5\end{array} $$

Question

22. Résoudre algébriquement pour $$ x 
eq-3 $$. $$ \begin{array}{ll}	ext { a. } \frac{1}{x+3}=5 & 	ext { b. } \frac{1}{x+3}>5 \ 	ext { c. } \frac{1}{x+3} \leqslant 5 & 	ext { d. } \frac{1}{x+3}>-5\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

a. On résout l'équation $$ \frac{1}{x+3}=5. $$ En multipliant par $$x+3$$ (ce qui est permis puisque $$x\neq -3$$), on a $$ 1=5(x+3). $$ Ainsi, $$ x+3=\frac{1}{5} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{5}-3=\frac{1-15}{5}=-\frac{14}{5}. $$ --- b. On étudie l'inéquation $$ \frac{1}{x+3}>5. $$ Soit $$u=x+3$$. On distingue deux cas : - **Cas 1 :** $$u>0$$ (donc $$x+3>0$$, c'est-à-dire $$x>-3$$). Dans ce cas, multiplier l'inéquation par $$u$$ (positif) donne $$ 1 > 5u \quad\Longrightarrow\quad u<\frac{1}{5}. $$ Ainsi, $$ 00$$ (donc $$x>-3$$). Dans ce cas, multiplier par $$u$$ donne \[ 1\leqslant 5u \quad\Longrightarrow\quad u\geqslant \frac{1}{5}. $$ Ainsi, $$ x+3\geqslant \frac{1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x\geqslant \frac{1}{5}-3=-\frac{14}{5}. $$ - **Cas 2 :** $$u<0$$ (donc $$x<-3$$). Ici, $$\frac{1}{u}$$ est négatif et comme $$5$$ est positif, l'inégalité $$\frac{1}{u}\leqslant5$$ est automatiquement satisfaite. La solution générale est la réunion des deux cas, en excluant $$x=-3$$ (car le dénominateur doit être différent de zéro) : $$ x\in(-\infty,-3)\cup\left[-\frac{14}{5},\infty\right). $$ --- d. On résout l'inéquation $$ \frac{1}{x+3}>-5. $$ Posons $$u=x+3$$ et considérons les deux cas : - **Cas 1 :** $$u>0$$ ($$x>-3$$). Ici, $$u$$ positif et $$\frac{1}{u}$$ positif, donc $$ \frac{1}{u}>-5 $$ est automatiquement vrai dès lors que $$x>-3$$. - **Cas 2 :** $$u<0$$ ($$x<-3$$). Dans ce cas, multiplier l'inéquation par $$u$$ (négatif, ce qui inverse le sens de l'inégalité) donne $$ 1 < -5u. $$ On obtient alors $$ u < -\frac{1}{5}. $$ Ce qui se traduit par $$ x+3<-\frac{1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x<-\frac{1}{5}-3=-\frac{16}{5}. $$ La solution de l'inéquation est la réunion des deux cas (en excluant $$x=-3$$) : $$ x\in(-\infty,-\frac{16}{5})\cup(-3,\infty). $$ a. $$ x = -\frac{14}{5} $$ b. $$ -3 < x < -\frac{14}{5} $$ c. $$ x \leq -\frac{14}{5} $$ ou $$ x > -3 $$ d. $$ x < -\frac{16}{5} $$ ou $$ x > -3 $$

22. Résoudre algébriquement pour \( x \neq-3 \). \( \begin{array}{ll}\text { a. } \frac{1}{x+3}=5 & \text { b. } \frac{1}{x+3}>5 \\ \text { c. } \frac{1}{x+3} \leqslant 5 & \text { d. } \frac{1}{x+3}>-5\end{array} \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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