Pregunta
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22. Résoudre algébriquement pour \( x \neq-3 \). \( \begin{array}{ll}\text { a. } \frac{1}{x+3}=5 & \text { b. } \frac{1}{x+3}>5 \\ \text { c. } \frac{1}{x+3} \leqslant 5 & \text { d. } \frac{1}{x+3}>-5\end{array} \)

Ask by Brewer Moreno. in France
Mar 16,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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a. \( x = -\frac{14}{5} \) b. \( -3 < x < -\frac{14}{5} \) c. \( x \leq -\frac{14}{5} \) ou \( x > -3 \) d. \( x < -\frac{16}{5} \) ou \( x > -3 \)

Solución

a. On résout l'équation \[ \frac{1}{x+3}=5. \] En multipliant par \(x+3\) (ce qui est permis puisque \(x\neq -3\)), on a \[ 1=5(x+3). \] Ainsi, \[ x+3=\frac{1}{5} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{5}-3=\frac{1-15}{5}=-\frac{14}{5}. \] --- b. On étudie l'inéquation \[ \frac{1}{x+3}>5. \] Soit \(u=x+3\). On distingue deux cas : - **Cas 1 :** \(u>0\) (donc \(x+3>0\), c'est-à-dire \(x>-3\)). Dans ce cas, multiplier l'inéquation par \(u\) (positif) donne \[ 1 > 5u \quad\Longrightarrow\quad u<\frac{1}{5}. \] Ainsi, \[ 00\) (donc \(x>-3\)). Dans ce cas, multiplier par \(u\) donne \[ 1\leqslant 5u \quad\Longrightarrow\quad u\geqslant \frac{1}{5}. \] Ainsi, \[ x+3\geqslant \frac{1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x\geqslant \frac{1}{5}-3=-\frac{14}{5}. \] - **Cas 2 :** \(u<0\) (donc \(x<-3\)). Ici, \(\frac{1}{u}\) est négatif et comme \(5\) est positif, l'inégalité \(\frac{1}{u}\leqslant5\) est automatiquement satisfaite. La solution générale est la réunion des deux cas, en excluant \(x=-3\) (car le dénominateur doit être différent de zéro) : \[ x\in(-\infty,-3)\cup\left[-\frac{14}{5},\infty\right). \] --- d. On résout l'inéquation \[ \frac{1}{x+3}>-5. \] Posons \(u=x+3\) et considérons les deux cas : - **Cas 1 :** \(u>0\) (\(x>-3\)). Ici, \(u\) positif et \(\frac{1}{u}\) positif, donc \[ \frac{1}{u}>-5 \] est automatiquement vrai dès lors que \(x>-3\). - **Cas 2 :** \(u<0\) (\(x<-3\)). Dans ce cas, multiplier l'inéquation par \(u\) (négatif, ce qui inverse le sens de l'inégalité) donne \[ 1 < -5u. \] On obtient alors \[ u < -\frac{1}{5}. \] Ce qui se traduit par \[ x+3<-\frac{1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x<-\frac{1}{5}-3=-\frac{16}{5}. \] La solution de l'inéquation est la réunion des deux cas (en excluant \(x=-3\)) : \[ x\in(-\infty,-\frac{16}{5})\cup(-3,\infty). \]

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Beyond the Answer

Pour la première équation \( \frac{1}{x+3}=5 \), on peut commencer par multiplier les deux côtés par \( x+3 \) (en prenant soin que \( x \neq -3 \) pour éviter une division par zéro) : \( 1 = 5(x + 3) \). En développant, on obtient \( 1 = 5x + 15 \). En isolant \( x \), on a \( 5x = 1 - 15 \) soit \( 5x = -14 \) et donc \( x = -\frac{14}{5} \). Pour la partie \( \frac{1}{x+3}>5 \), en multipliant par \( x+3 \) et sachant qu’il doit rester positif (pour préserver l’inégalité), nous avons que \( 1 > 5(x + 3) \). Cela se transforme en \( 1 > 5x + 15 \) ou \( 5x < -14 \), d’où \( x < -\frac{14}{5} \). Pour \( \frac{1}{x+3} \leq 5 \), en entrant dans les détails, cela donne \( 1 \leq 5(x + 3) \) ou \( 5x \geq -14 \) soit \( x \geq -\frac{14}{5} \). Enfin, pour \( \frac{1}{x+3} > -5 \), on multiplie de manière similaire et cela donne \( 1 > -5(x + 3) \). En développant, cela se transforme en \( 1 > -5x - 15 \), soit \( 5x > -16 \), d’où \( x > -\frac{16}{5} \). En résumé : a. \( x = -\frac{14}{5} \) b. \( x < -\frac{14}{5} \) c. \( x \geq -\frac{14}{5} \) d. \( x > -\frac{16}{5} \)

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