\( 16^{5} \div 4^{a} \div 2^{4}=8^{2} \) 일 때, 자연수 \( a \) 의 값을 구하시오.

우선 주어진 식을 \(2\)의 거듭제곱으로 나타내어 풀이해 보겠습니다. 1. 각 수를 \(\,2\)의 거듭제곱으로 변환합니다. - \(16 = 2^4\) - \(4 = 2^2\) - \(8 = 2^3\) 2. 식에 대입합니다. \[ 16^{5} \div 4^{a} \div 2^{4} = 8^{2} \quad \Rightarrow \quad (2^4)^5 \div (2^2)^a \div 2^4 = (2^3)^2 \] 3. 거듭제곱의 성질을 이용하여 지수를 곱합니다. \[ 2^{20} \div 2^{2a} \div 2^4 = 2^6 \] 4. 나눗셈은 지수를 빼는 성질을 사용합니다. \[ 2^{20 - 2a - 4} = 2^6 \quad \Rightarrow \quad 2^{16 - 2a} = 2^6 \] 5. 지수가 같으므로, 지수끼리 비교합니다. \[ 16 - 2a = 6 \] 6. 이 식을 풀어 \(a\)를 구합니다. \[ 16 - 2a = 6 \quad \Rightarrow \quad -2a = 6 - 16 \quad \Rightarrow \quad -2a = -10 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{-10}{-2} = 5 \] 따라서 자연수 \( a \)의 값은 \( a = 5 \)입니다.