4. Suponga que las rectas normales a una curva diferenciable $$ \sigma(t) $$ pasan por un punto fijo en $$ \mathbb{R}^{2} $$, pruebe que la traza de la $$ \sigma $$ está contenida en un círculo.

Question

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Para demostrar que la traza de la curva diferenciable $$ \sigma(t) $$ está contenida en un círculo, consideremos los siguientes pasos:

1. **Definición de la curva y su normal**: Sea $$ \sigma(t) = (x(t), y(t)) $$ una curva diferenciable en $$ \mathbb{R}^{2} $$. La derivada de la curva, $$ \sigma'(t) = (x'(t), y'(t)) $$, nos da la dirección tangente a la curva en el punto $$ \sigma(t) $$. La normal a la curva en este punto es perpendicular a la tangente.

2. **Ecuación de la normal**: La ecuación de la recta normal en el punto $$ \sigma(t) $$ que pasa por un punto fijo $$ P(a, b) $$ se puede expresar como:
   $$
   (y - y(t)) = -\frac{x'(t)}{y'(t)}(x - x(t))
   $$
   donde $$ (x(t), y(t)) $$ es un punto en la curva.

3. **Condición de que todas las normales pasan por un punto fijo**: Si todas las normales a la curva pasan por el punto fijo $$ P(a, b) $$, esto implica que la distancia desde $$ P $$ hasta cualquier punto $$ \sigma(t) $$ es constante. Esto se puede expresar como:
   $$
   (x(t) - a)^2 + (y(t) - b)^2 = r^2
   $$
   donde $$ r $$ es la distancia constante desde $$ P $$ hasta la curva.

4. **Conclusión**: La ecuación anterior representa un círculo de radio $$ r $$ centrado en $$ P(a, b) $$. Por lo tanto, la traza de la curva $$ \sigma(t) $$ está contenida dentro de este círculo.

En resumen, hemos demostrado que si las rectas normales a una curva diferenciable $$ \sigma(t) $$ pasan por un punto fijo en $$ \mathbb{R}^{2} $$, entonces la traza de $$ \sigma $$ está contenida en un círculo.
Si todas las rectas normales a una curva diferenciable $$ \sigma(t) $$ en $$ \mathbb{R}^{2} $$ pasan por un punto fijo, entonces la traza de la curva $$ \sigma(t) $$ está contenida en un círculo centrado en ese punto fijo.

Suponga que las rectas normales a una curva diferenciable pasan por
un punto fijo en , pruebe que la traza de la está contenida en un
círculo.

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Suponga que las rectas normales a una curva diferenciable pasan por un punto fijo en , pruebe que la traza de la está contenida en un círculo.