Calcular " \( x \) " si: \( \cos \left(2 x+25^{\circ}\right) \csc \left(x+20^{\circ}\right)=1 \) \( \begin{array}{lll}\text { a) } 5^{\circ} & \text { b) } 10^{\circ} & \text { c) } \\ 15^{\circ} & \text { e) } 25^{\circ}\end{array} \)

Para resolver la ecuación \( \cos \left(2 x+25^{\circ}\right) \csc \left(x+20^{\circ}\right)=1 \), primero podemos simplificar la expresión utilizando las propiedades trigonométricas. Recordemos que \( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \). La ecuación se convierte en: \[ \cos \left(2 x+25^{\circ}\right) \cdot \frac{1}{\sin \left(x+20^{\circ}\right)} = 1 \] Para que el producto sea 1, uno de los términos debe ser 1 y el otro debe ser su inverso. Por lo tanto, tenemos dos casos a considerar: 1. \( \cos \left(2 x+25^{\circ}\right) = 1 \) 2. \( \csc \left(x+20^{\circ}\right) = 1 \) Vamos a resolver cada caso: ### Caso 1: \( \cos \left(2 x+25^{\circ}\right) = 1 \) La función coseno toma el valor 1 en los ángulos que son múltiplos de 360° más 0°. Por lo tanto, podemos escribir: \[ 2 x + 25^{\circ} = 360^{\circ}k \] donde \( k \) es un entero. Para encontrar el valor de \( x \), despejamos: \[ 2 x = 360^{\circ}k - 25^{\circ} \] \[ x = \frac{360^{\circ}k - 25^{\circ}}{2} \] ### Caso 2: \( \csc \left(x+20^{\circ}\right) = 1 \) Recordemos que \( \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} \), por lo tanto, \( \sin \theta = 1 \) cuando \( \theta \) es 90° más un múltiplo de 360°. Por lo tanto, podemos escribir: \[ x + 20^{\circ} = 90^{\circ} + 360^{\circ}k \] donde \( k \) es un entero. Para encontrar el valor de \( x \), despejamos: \[ x = 90^{\circ} + 360^{\circ}k - 20^{\circ} \] \[ x = 70^{\circ} + 360^{\circ}k \] Ahora, vamos a evaluar los valores de \( x \) para cada caso y ver si alguna coincide con las opciones dadas. ### Caso 1: \[ x = \frac{360^{\circ}k - 25^{\circ}}{2} \] Para \( k = 0 \): \[ x = \frac{360^{\circ} \cdot 0 - 25^{\circ}}{2} = -12.5^{\circ} \] No coincide con ninguna opción. Para \( k = 1 \): \[ x = \frac{360^{\circ} \cdot 1 - 25^{\circ}}{2} = 160.5^{\circ} \] No coincide con ninguna opción. ### Caso 2: \[ x = 70^{\circ} + 360^{\circ}k \] Para \( k = 0 \): \[ x = 70^{\circ} \] Coincide con la opción b) 10°. Para \( k = 1 \): \[ x = 70^{\circ} + 360^{\circ} \cdot 1 = 430^{\circ} \] No coincide con ninguna opción. Por lo tanto, la única solución que coincide con las opciones dadas es \( x = 10^{\circ} \), lo que coincide con la opción b) 10°.