Pregunta
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a) \( A=\{2 ; x ; 8\} \) e \( B=\{2 ; 5 ; y\} \) b) \( A=\{-1 ; 2 x+3 ; 7\} \) e \( B=\{y-4 ; 9 ; 7\} \) c) \( A=\{3 x-7 ;-5 ; 8 y-1\} \) e \( B=\{11 ;-5 ; 10 y-9\} \) d) \( A=\{x-y ; 5 ; 9\} \) e \( B=\{3 ; 3 x+y ; 9\} \) e) \( A=\{-3,3 x-4 y ; 1\} \) e \( B=\{-3 ; 2 ; 5 x-2 y\} \)

Ask by Carlson Brooks. in Mozambique
Mar 06,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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- a) \(x = 5\), \(y = 8\) - b) \(x = 3\), \(y = 3\) - c) \(x = 6\), \(y = 4\) - d) \(x = 2\), \(y = -1\) - e) \(x = 0\), \(y = -\frac{1}{2}\)

Solución

To solve the problems, we need to find the values of the variables \(x\) and \(y\) in each pair of sets \(A\) and \(B\) such that the sets are equal. This means that every element in set \(A\) must be equal to some element in set \(B\). Let's analyze each case step by step. ### a) \( A=\{2 ; x ; 8\} \) e \( B=\{2 ; 5 ; y\} \) 1. From the sets, we can see that \(2\) is common in both sets. 2. For the sets to be equal, the remaining elements must also match: - \(x\) must equal \(5\) (from set \(B\)). - \(8\) must equal \(y\) (from set \(B\)). Thus, we have: - \(x = 5\) - \(y = 8\) ### b) \( A=\{-1 ; 2x+3 ; 7\} \) e \( B=\{y-4 ; 9 ; 7\} \) 1. The common element is \(7\). 2. The remaining elements must match: - \(-1\) must equal \(y - 4\) (from set \(B\)). - \(2x + 3\) must equal \(9\) (from set \(B\)). Now we can set up the equations: 1. \(y - 4 = -1\) → \(y = 3\) 2. \(2x + 3 = 9\) → \(2x = 6\) → \(x = 3\) Thus, we have: - \(x = 3\) - \(y = 3\) ### c) \( A=\{3x-7 ; -5 ; 8y-1\} \) e \( B=\{11 ; -5 ; 10y-9\} \) 1. The common element is \(-5\). 2. The remaining elements must match: - \(3x - 7 = 11\) (from set \(B\)). - \(8y - 1 = 10y - 9\) (from set \(B\)). Now we can set up the equations: 1. \(3x - 7 = 11\) → \(3x = 18\) → \(x = 6\) 2. \(8y - 1 = 10y - 9\) → \(2y = 8\) → \(y = 4\) Thus, we have: - \(x = 6\) - \(y = 4\) ### d) \( A=\{x-y ; 5 ; 9\} \) e \( B=\{3 ; 3x+y ; 9\} \) 1. The common element is \(9\). 2. The remaining elements must match: - \(x - y = 3\) (from set \(B\)). - \(5 = 3x + y\) (from set \(B\)). Now we can set up the equations: 1. \(x - y = 3\) → \(y = x - 3\) 2. Substituting \(y\) into the second equation: \(5 = 3x + (x - 3)\) → \(5 = 4x - 3\) → \(4x = 8\) → \(x = 2\) 3. Now substituting \(x\) back to find \(y\): \(y = 2 - 3 = -1\) Thus, we have: - \(x = 2\) - \(y = -1\) ### e) \( A=\{-3, 3x-4y ; 1\} \) e \( B=\{-3 ; 2 ; 5x-2y\} \) 1. The common element is \(-3\). 2. The remaining elements must match: - \(3x - 4y = 2\) (from set \(B\)). - \(1 = 5x - 2y\) (from set \(B\)). Now we can set up the equations: 1. \(3x - 4y = 2\) (Equation 1) 2. \(5x - 2y = 1\) (Equation 2) We can solve these equations simultaneously. Let's solve the system of equations: \[ \begin{align*} 3x - 4y &= 2 \quad (1) \\ 5x - 2y &= 1 \quad (2) \end{align*} \] We can multiply Equation (1) by \(2\) and Equation (2) by \(4\) to eliminate \(y\): \[ \begin{align*} 6x - 8y &= 4 \quad (3) \\ 20x - 8y &= 4 \quad (4) \end{align*} \] Now, subtract Equation (3) from Equation (4): \[ 20x - 6x = 4 - 4 \\ 14x = 0 \\ x = 0 \] Now substituting \(x = 0\) back into Equation (1): \[ 3(0) - 4y = 2 \\ -4y = 2 \\ y = -\frac{1}{2} \] Thus, we have: - \(x = 0\) - \(y = -\frac{1}{2}\) ### Summary of Results: - a) \(x = 5\), \(y = 8\) - b) \(x = 3\), \(y = 3\) - c) \(x = 6\), \(y = 4\) - d) \(x = 2\), \(y = -1\) - e) \(x = 0\), \(y = -\frac{1}{2}\)

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Bonus Knowledge

Os conjuntos apresentados estão repletos de mistérios matemáticos que podemos explorar! Uma forma interessante de trabalhar com eles é pensar em como podemos igualar elementos entre \(A\) e \(B\). Por exemplo, em \(a)\), podemos começar a estabelecer \(2 = 2\), mas a verdadeira diversão é desbravar os valores de \(x\) e \(y\) que tornam todos os elementos coincidentes. Ao lidar com situações semelhantes em \(b)\), o foco pode ser nos elementos com incógnitas. Aqui, resolvemos \(2x + 3 = y - 4\) e \(y - 4 = 9\) para encontrar os valores das variáveis. Não se esqueça de ousar! A resolução dessas equações pode ser feita com técnicas de substituição ou eliminação, evitando armadilhas comuns como não verificar soluções obtidas.

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