Actividad 1 Dada la función: \( f(x)=\operatorname{sen} x^{2} \). Hallar la segunda derivada.

Sea \( f(x) = \sin(x^2) \). **Paso 1: Calcular la primera derivada** Utilizamos la regla de la cadena. Sea: \[ u = x^2 \quad \text{y} \quad f(x) = \sin(u) \] La derivada de \( f \) respecto a \( u \) es: \[ \frac{d}{du} \sin(u) = \cos(u) \] y la derivada de \( u \) respecto a \( x \) es: \[ \frac{du}{dx} = 2x. \] Por la regla de la cadena: \[ f'(x) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2). \] **Paso 2: Calcular la segunda derivada** Ahora diferenciamos \( f'(x) = 2x \cos(x^2) \). Utilizamos la regla del producto, que establece: \[ \frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). \] Sea: \[ u(x) = 2x \quad \text{y} \quad v(x) = \cos(x^2). \] - Derivamos \( u(x) \): \[ u'(x) = 2. \] - Derivamos \( v(x) \) usando la regla de la cadena nuevamente. Sea \( w = x^2 \), entonces: \[ v(x) = \cos(w) \quad \text{y} \quad \frac{d}{dw}\cos(w) = -\sin(w), \] y \[ \frac{dw}{dx} = 2x. \] Por lo tanto: \[ v'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2). \] Aplicando la regla del producto: \[ f''(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2\cos(x^2) + 2x \cdot \left(-2x \sin(x^2)\right). \] Simplificando: \[ f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2). \] La segunda derivada es: \[ f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2). \]