\( \int _{}^{}\frac{\sec (x)^{3}}{\tan (x)} d x \)

لحساب التكامل التالي: \[ \int \frac{\sec^3(x)}{\tan(x)} \, dx \] نتبع الخطوات التالية: 1. **تبسيط التكامل باستخدام الهوية المثلثية:** \[ \frac{\sec^3(x)}{\tan(x)} = \frac{1}{\cos^3(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\cos^2(x) \sin(x)} = \frac{\sec^2(x)}{\sin(x)} \] إذن التكامل يصبح: \[ \int \frac{\sec^2(x)}{\sin(x)} \, dx \] 2. **استخدام تغيير المتغيرات:** لنفرض أن \( u = \cos(x) \)، إذًا: \[ du = -\sin(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = -\frac{du}{\sin(x)} \] عند التعويض في التكامل: \[ \int \frac{\sec^2(x)}{\sin(x)} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2(x) \sin(x)} \cdot \left( -\frac{du}{\sin(x)} \right ) = -\int \frac{1}{u^2 (1 - u^2)} \, du \] 3. **تحليل الكسر إلى كسور جزئية:** \[ \frac{1}{u^2 (1 - u^2)} = \frac{1}{u^2 (1 - u)(1 + u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u^2} + \frac{C}{1 - u} + \frac{D}{1 + u} \] من خلال حل المعادلات نحصل على: \[ A = 0, \quad B = 1, \quad C = \frac{1}{2}, \quad D = \frac{1}{2} \] إذن: \[ \frac{1}{u^2 (1 - u^2)} = \frac{1}{u^2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right ) \] 4. **إجراء التكامل:** \[ -\int \left( \frac{1}{u^2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right ) \right ) du = -\left( -\frac{1}{u} + \frac{1}{2} \ln|1 - u| - \frac{1}{2} \ln|1 + u| \right ) + C \] وبتبسيط النتيجة: \[ \frac{1}{u} - \frac{1}{2} \ln|1 - u| + \frac{1}{2} \ln|1 + u| + C \] 5. **إعادة المتغير الأصلي \( u = \cos(x) \):** \[ \sec(x) + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)} \right| + C \] **إذن، الحل النهائي للتكامل هو:** \[ \int \frac{\sec^3(x)}{\tan(x)} \, dx = \sec(x) + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + \cos(x)}{1 - \cos(x)} \right| + C \] حيث \( C \) هو ثابت التكامل.