1.5 Differentiate the following: 1.5.1 $$ y=x^{4}\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} $$ 1.5.2 $$ y=\frac{\cos x}{x^{2}} $$ 1.5.3 $$ y=\left(1-x^{3}\right) e^{3} x $$ $$ \ldots \ldots \ldots \ldots $$ EN1

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**1.5.1. Tìm đạo hàm của $$ y=x^{4}\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} $$**

Gọi $$ u(x)=x^4 $$ và $$ v(x)=(4-x^2)^{\frac{1}{2}} $$. Khi đó:
- $$ u'(x)=4x^3 $$.
- Để tính $$ v'(x) $$, ta áp dụng quy tắc chuỗi. Viết $$ v(x)=(4-x^2)^{\frac{1}{2}} $$. Đặt $$ w(x)=4-x^2 $$, suy ra
  $$
  v(x)=w(x)^{\frac{1}{2}},\quad w'(x)=-2x.
  $$
  Do đó,
  $$
  v'(x)=\frac{1}{2} w(x)^{-\frac{1}{2}} \cdot w'(x)=\frac{1}{2}(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)=-x(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}.
  $$

Áp dụng quy tắc nhân:
$$
y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=4x^3(4-x^2)^{\frac{1}{2}} + x^4\Big[-x(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}\Big].
$$
Rút gọn:
$$
y' = 4x^3(4-x^2)^{\frac{1}{2}} - x^5(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}.
$$
Nhân $$ x^3(4-x^2)^{-\frac{1}{2}} $$ ra ngoài:
$$
y' = x^3(4-x^2)^{-\frac{1}{2}}\Big[ 4(4-x^2) - x^2 \Big].
$$
Tính $$ 4(4-x^2)-x^2=16-4x^2-x^2=16-5x^2 $$.  
Vậy đạo hàm là:
$$
y'=\frac{x^3(16-5x^2)}{(4-x^2)^{\frac{1}{2}}}.
$$

---

**1.5.2. Tìm đạo hàm của $$ y=\frac{\cos x}{x^{2}} $$**

Đặt $$ u(x)=\cos x $$ và $$ v(x)=x^2 $$. Khi đó:
- $$ u'(x)=-\sin x $$.
- $$ v'(x)=2x $$.

Sử dụng quy tắc chia:
$$
y'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{(-\sin x)x^2 - \cos x\cdot2x}{x^4}.
$$
Rút gọn:
$$
y'=\frac{-x^2\sin x -2x\cos x}{x^4} = -\frac{x^2\sin x+2x\cos x}{x^4}.
$$
Ta có thể chia cả tử và mẫu cho $$ x $$ (với $$ x\neq 0 $$):
$$
y'=-\frac{x\sin x+2\cos x}{x^3}.
$$

---

**1.5.3. Tìm đạo hàm của $$ y=\left(1-x^{3}\right)e^{3x} $$**

Đặt $$ u(x)=1-x^3 $$ và $$ v(x)=e^{3x} $$. Khi đó:
- $$ u'(x)=-3x^2 $$.
- Với $$ v(x)=e^{3x} $$, theo quy tắc chuỗi, $$ v'(x)=3e^{3x} $$.

Áp dụng quy tắc nhân:
$$
y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=-3x^2e^{3x}+ (1-x^3)3e^{3x}.
$$
Nhóm $$ e^{3x} $$ ra ngoài:
$$
y' = e^{3x}\Big[-3x^2+3(1-x^3)\Big] = 3e^{3x}\Big[1-x^3 - x^2\Big].
$$

---

Vậy các kết quả đạo hàm là:

1. $$ \displaystyle y'=\frac{x^3(16-5x^2)}{(4-x^2)^{\frac{1}{2}}} $$.

2. $$ \displaystyle y'=-\frac{x\sin x+2\cos x}{x^3} $$.

3. $$ \displaystyle y'=3e^{3x}\Big(1-x^2-x^3\Big) $$.
**1.5.1. Đạo hàm của $$ y=x^{4}\left(4-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} $$ là $$ y'=\frac{x^3(16-5x^2)}{(4-x^2)^{\frac{1}{2}}} $$.** **1.5.2. Đạo hàm của $$ y=\frac{\cos x}{x^{2}} $$ là $$ y'=-\frac{x\sin x+2\cos x}{x^3} $$.** **1.5.3. Đạo hàm của $$ y=\left(1-x^{3}\right)e^{3x} $$ là $$ y'=3e^{3x}\Big(1-x^2-x^3\Big) $$.

1.5 Differentiate the following:
1.5.1
1.5.2
1.5.3
EN1

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions

1.5 Differentiate the following: 1.5.1 1.5.2 1.5.3 EN1