Dati i punti \( A(-3,2) \) e \( M\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \), determina: il punto \( B \), tale che \( M \) è il punto medio di \( A B \); T'equazione della retta \( A B \); l'equazione dell'asse di \( A B \) e il suo punto di intersezione \( C \) con l'asse \( x \); . il perimetro e l'area del triangolo \( A B C \). \[ \text { a. } B(4,-5) \text {; b. } y=-x-1 ; \text { c. } y=x-2, C(2,0) \text {; d. Perimetro }=2 \sqrt{29}+7 \sqrt{2} \text {; Area }=\frac{21}{2} \]

**1. Trovare il punto \( B \) tale che \( M \) sia il punto medio di \( AB \):** Il punto medio \( M(x_M,y_M) \) di \( AB \) si calcola come \[ x_M=\frac{x_A+x_B}{2},\quad y_M=\frac{y_A+y_B}{2} \] Da cui, isolando \( x_B \) e \( y_B \): \[ x_B=2x_M-x_A,\quad y_B=2y_M-y_A \] Sostituendo \( A(-3,2) \) e \( M\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \): \[ x_B=2\left(\frac{1}{2}\right)-(-3)=1+3=4, \quad y_B=2\left(-\frac{3}{2}\right)-2=-3-2=-5 \] Quindi: \[ B(4,-5) \] --- **2. Trovare l'equazione della retta \( AB \):** Il coefficiente angolare \( m \) si calcola con \[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{-5-2}{4-(-3)}=\frac{-7}{7}=-1 \] Usando la forma punto-pendenza con il punto \( A(-3,2) \): \[ y-2=-1(x+3) \] Sviluppando: \[ y=-x-3+2 \quad\Rightarrow\quad y=-x-1 \] --- **3. Trovare l'equazione dell'asse (perpendicolare) di \( AB \) e il punto di intersezione \( C \) con l'asse \( x \):** L'asse di \( AB \) è la bisettrice perpendicolare, che ha: 1. Passa per il punto medio \( M\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right) \). 2. Ha coefficiente angolare inverso e opposto a quello di \( AB \). Poiché \( m_{AB}=-1 \), il coefficiente perpendicolare è \[ m_{\perp}=1 \] Usando la forma punto-pendenza: \[ y -\left(-\frac{3}{2}\right)=1\Bigl(x-\frac{1}{2}\Bigr) \] ossia: \[ y+\frac{3}{2}=x-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad y=x-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=x-2 \] Per trovare l'intersezione con l'asse \( x \) (cioè \( y=0 \)): \[ 0=x-2\quad\Rightarrow\quad x=2 \] Pertanto: \[ C(2,0) \] --- **4. Calcolare il perimetro e l'area del triangolo \( ABC \):** Individuiamo le distanze tra i punti: - \( AB \): \[ AB=\sqrt{(4-(-3))^2+(-5-2)^2}=\sqrt{7^2+(-7)^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}=7\sqrt{2} \] - \( AC \): \[ AC=\sqrt{(2-(-3))^2+(0-2)^2}=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29} \] - \( BC \): \[ BC=\sqrt{(4-2)^2+(-5-0)^2}=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29} \] Il perimetro è: \[ P=AB+AC+BC=7\sqrt{2}+2\sqrt{29} \] Per l'area, utilizziamo la formula del determinante: \[ \text{Area}=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right| \] Sostituendo \( A(-3,2) \), \( B(4,-5) \) e \( C(2,0) \): \[ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2}\Bigl| (-3)((-5)-0)+4\Bigl(0-2\Bigr)+2\Bigl(2-(-5)\Bigr)\Bigr| \\ &=\frac{1}{2}\Bigl| (-3)(-5)+4(-2)+2(7)\Bigr| \\ &=\frac{1}{2}\Bigl| 15-8+14\Bigr| \\ &=\frac{1}{2}\Bigl| 21\Bigr| \\ &=\frac{21}{2} \end{aligned} \] --- **Risposte finali:** a. \( B(4,-5) \) b. \( y=-x-1 \) c. L'asse è \( y=x-2 \) e \( C(2,0) \) d. Perimetro \( =2\sqrt{29}+7\sqrt{2} \); Area \( =\frac{21}{2} \)