Ejercicios de Cálculo de la Renta \( (\mathbf{R}) \) 1. Se deposita un capital en una cuenta de ahorro con pagos mensuales anticipados de 5 años a una tasa del \( 8 \% \) anual capitalizable mensualmente. Si al final se acumulan \( \$ 200,000 \), ¿cuál es la renta mensual?

Dado que se realizan depósitos mensuales anticipados durante 5 años, tenemos: - Número de períodos: \( n = 5 \times 12 = 60 \) - Tasa nominal anual: \( 8\% \) - Tasa periódica mensual: \( i = \frac{0.08}{12} \approx 0.0066667 \) Para una anualidad anticipada, el valor acumulado está dado por \[ S = R \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} \cdot (1+i) \] donde: - \( S \) es el monto acumulado (en este caso, \( \$200,000 \)) - \( R \) es la renta (depósito) mensual. Planteamos la ecuación e igualamos a \( 200,000 \): \[ 200\,000 = R \cdot \frac{(1+0.0066667)^{60} - 1}{0.0066667} \cdot (1+0.0066667) \] Para despejar \( R \), resolvemos: \[ R = \frac{200\,000}{\frac{(1+0.0066667)^{60} - 1}{0.0066667} \cdot (1+0.0066667)} \] Procedamos paso a paso. 1. Calcular \( 1+i \): \[ 1+i = 1 + 0.0066667 \approx 1.0066667 \] 2. Calcular \( (1+i)^n \): \[ (1.0066667)^{60} \approx 1.489 \] 3. Calcular \( (1+i)^n - 1 \): \[ (1+i)^n - 1 \approx 1.489 - 1 = 0.489 \] 4. Dividir entre \( i \): \[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} \approx \frac{0.489}{0.0066667} \approx 73.35 \] 5. Multiplicar por \( (1+i) \): \[ 73.35 \times 1.0066667 \approx 73.84 \] 6. Finalmente, despejar \( R \): \[ R \approx \frac{200\,000}{73.84} \approx 2\,708.68 \] Por lo tanto, la renta mensual es aproximadamente \( \$2\,709 \).