1 Un grupo de amigos organiza una excursión cuyc transporte costaba $$ \$ 300.000 $$ en total. En el últim momento se inscriben cinco amigos más, por l que cada uno paga $$ \$ 2.000 $$ menos. ¿Cuántos ami gos iban a la excursión inicialmente?

Question

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Sea $$ n $$ el número de amigos inicialmente inscritos. Entonces, cada uno pagaría al principio:

$$
\frac{300\,000}{n}
$$

Luego, al agregarse cinco amigos más, el número total es $$ n+5 $$ y cada uno paga:

$$
\frac{300\,000}{n+5}
$$

Según el enunciado, la diferencia del monto pagado por cada uno es de $$ 2\,000 $$, por lo que tenemos:

$$
\frac{300\,000}{n} - \frac{300\,000}{n+5} = 2\,000
$$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $$ n(n+5) $$ para eliminar los denominadores:

$$
300\,000(n+5) - 300\,000 n = 2\,000 \, n (n+5)
$$

Simplificamos el lado izquierdo:

$$
300\,000 n + 1\,500\,000 - 300\,000 n = 1\,500\,000
$$

Por lo tanto, la ecuación queda:

$$
1\,500\,000 = 2\,000 \, n (n+5)
$$

Dividimos ambos lados entre $$ 2\,000 $$:

$$
\frac{1\,500\,000}{2\,000} = n(n+5)
$$

$$
750 = n(n+5)
$$

Expresamos la ecuación en forma cuadrática:

$$
n^2 + 5n - 750 = 0
$$

Para resolver la ecuación, empleamos la fórmula general:

$$
n = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-750)}}{2}
$$

Calculamos el discriminante:

$$
\Delta = 5^2 + 4 \cdot 750 = 25 + 3000 = 3025
$$

Como $$ \sqrt{3025} = 55 $$, se tiene:

$$
n = \frac{-5 \pm 55}{2}
$$

Obtenemos las dos posibles soluciones:

$$
n = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{y} \quad n = \frac{-60}{2} = -30
$$

Dado que $$ n $$ debe ser un número positivo, descartamos $$ n = -30 $$.

Por lo tanto, el número de amigos inicialmente inscritos era:

$$
\boxed{25}
$$
El número de amigos que iban a la excursión inicialmente era 25.

1 Un grupo de amigos organiza una excursión cuyc transporte costaba \( \$ 300.000 \) en total. En el últim momento se inscriben cinco amigos más, por l que cada uno paga \( \$ 2.000 \) menos. ¿Cuántos ami gos iban a la excursión inicialmente?

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