mostrar que: Si \( A \in \mathbb{R}^{m x n} \), entonces el producto \( A . A^{t} \) está definido y es una matriz simétrica.

Para mostrar que el producto \( A \cdot A^{t} \) está definido, comenzamos notando que \( A \) es una matriz de dimensiones \( m \times n \). La matriz transpuesta \( A^{t} \) tendrá dimensiones \( n \times m \). El producto de matrices \( A \cdot A^{t} \) será una combinación de filas y columnas que resulta en una matriz de dimensiones \( m \times m \), lo cual indica que el producto está efectivamente definido. Ahora, para demostrar que \( A \cdot A^{t} \) es simétrica, tomemos la transpuesta del producto: \[ (A \cdot A^{t})^{t} = (A^{t})^{t} \cdot A^{t} = A \cdot A^{t}. \] La propiedad de transposición de productos establece que la transpuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las transpuestas en orden inverso. Como resultado, encontramos que \( A \cdot A^{t} \) es igual a su propia transpuesta: \[ A \cdot A^{t} = (A \cdot A^{t})^{t}, \] lo que confirma que \( A \cdot A^{t} \) es una matriz simétrica.