\( ( x ^ { 2 } + 2 x y - 4 y ^ { 2 } ) d x - ( x ^ { 2 } - 8 x y - 4 y ^ { 2 } ) d y = 0 \)

Queremos resolver la ecuación diferencial   (x² + 2xy – 4y²) dx – (x² – 8xy – 4y²) dy = 0. Observa que la ecuación se puede escribir en la forma   M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 con   M(x,y) = x² + 2xy – 4y²  y  N(x,y) = –(x² – 8xy – 4y²) = –x² + 8xy + 4y². Antes de buscar un factor integrante o aplicar otro método, conviene ver que la ecuación es homogénea (ya que todos los términos son de grado 2). Por ello, una estrategia adecuada es usar el cambio de variable y = v x (con v = v(x)). ────────────────────────────── Paso 1. Cambio de variable: y = v x Derivamos:   dy = v dx + x dv. Sustituimos en la ecuación original. Primero, expresamos cada término en función de x y v:   x² + 2xy – 4y² = x² + 2x(vx) – 4(vx)²             = x² + 2v x² – 4v² x² = x² (1 + 2v – 4v²). Análogamente,   x² – 8xy – 4y² = x² – 8x(vx) – 4(vx)² = x² – 8v x² – 4v² x² = x² (1 – 8v – 4v²). Y recordando que en N(x,y) aparece con signo menos, tenemos:   N(x,y) = –x² (1 – 8v – 4v²) = x² (–1 + 8v + 4v²). Por lo tanto, la ecuación se transforma en   x² (1+2v–4v²) dx + x² (–1+8v+4v²)[v dx + x dv] = 0. Distribuimos y se agrupan los términos en dx y dv: 1) Términos en dx:   x² (1+2v–4v²) dx + x² v (–1+8v+4v²) dx      = x² [1+2v–4v² + v(–1+8v+4v²)] dx. Calculemos el contenido de los corchetes:   1 + 2v – 4v² + (–v + 8v² + 4v³)      = 1 + (2v – v) + (–4v² + 8v²) + 4v³      = 1 + v + 4v² + 4v³. 2) Término en dv:   x² (–1+8v+4v²) [x dv] = x³ (–1+8v+4v²) dv. Por lo tanto, la ecuación se puede escribir como   x² [1 + v + 4v² + 4v³] dx + x³ (–1+8v+4v²) dv = 0. Dividimos la ecuación por x² (asumiendo x ≠ 0):   [1+v+4v²+4v³] dx + x (–1+8v+4v²) dv = 0. Reordenamos para separar las variables:   dx + [x (–1+8v+4v²)/(1+v+4v²+4v³)] dv = 0      (1) Observa que el polinomio del denominador se puede factorizar. Notamos que   1 + v + 4v² + 4v³ = (1+v)(1+4v²). Así, (1) se reescribe como   dx + x [–1+8v+4v²] / [(1+v)(1+4v²)] dv = 0. Es conveniente escribir la ecuación en forma de variables separables. Para ello, dividimos por x (x ≠ 0):   (1/x) dx + [–1+8v+4v²] / [(1+v)(1+4v²)] dv = 0. O equivalentemente   d(ln|x|) + [–1+8v+4v²] / [(1+v)(1+4v²)] dv = 0. Sin embargo, para facilitar la integración vamos a cambiar el signo en el numerador (esto es puramente estético). Escribamos:   (1/x) dx = – [1–8v–4v²] / [(1+v)(1+4v²)] dv. Luego, integrando ambos lados:   ∫ (dx/x) = – ∫ [1–8v–4v²] / [(1+v)(1+4v²)] dv. ────────────────────────────── Paso 2. Integración de la parte en v mediante fracciones parciales Queremos descomponer en fracciones parciales el integrando   [1–8v–4v²] / [(1+v)(1+4v²)]. Proponemos la descomposición   [1–8v–4v²] / [(1+v)(1+4v²)] = A/(1+v) + (Bv+C)/(1+4v²). Multiplicamos ambos lados por (1+v)(1+4v²):   1 – 8v – 4v² = A(1+4v²) + (Bv+C)(1+v). Expandamos el lado derecho:   A(1+4v²) = A +