Pregunta
upstudy study bank question image url

Find values of \( a \) and \( b \) that make the function provided below both continuous and differentiable at 9 . \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x+b & x<9 \\ x^{2} & x \geq 9\end{array}\right. \] \[ \begin{array}{l}a=\text { Number } \\ b=\text { Number }\end{array} \]

Ask by Ayala Schmidt. in the United States
Mar 12,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

\( a = 18 \) and \( b = -81 \).

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

The Deep Dive

To ensure the function \( f(x) \) is continuous and differentiable at \( x = 9 \), we start by ensuring continuity. This requires that the left-hand limit \( \lim_{x \to 9^-} f(x) \) is equal to the right-hand limit \( \lim_{x \to 9^+} f(x) \). 1. **Continuity Condition:** \[ \lim_{x \to 9^-} f(x) = a(9) + b \] \[ \lim_{x \to 9^+} f(x) = 9^2 = 81 \] Setting them equal for continuity: \[ 9a + b = 81 \quad \text{(1)} \] 2. **Differentiability Condition:** For differentiability, the left-hand derivative must equal the right-hand derivative at \( x = 9 \). \[ f'(x) = a \quad \text{for } x < 9 \] \[ f'(x) = 2x \quad \text{for } x \geq 9 \] Evaluating at \( x = 9 \): \[ \lim_{x \to 9^-} f'(x) = a \] \[ \lim_{x \to 9^+} f'(x) = 2(9) = 18 \] Setting them equal for differentiability: \[ a = 18 \quad \text{(2)} \] 3. **Substituting \( a \) back into equation (1):** Substitute \( a = 18 \) into equation (1): \[ 9(18) + b = 81 \] \[ 162 + b = 81 \] \[ b = 81 - 162 = -81 \] Thus, the values are: \[ a = 18 \quad \text{and} \quad b = -81 \]

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad