\( \int x ^ { 4 } e ^ { x / 6 } d x \)

Para resolver la integral \( \int x^4 e^{x/6} \, dx \), podemos utilizar el método de integración por partes. Recordemos que la fórmula de integración por partes es: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Elegimos: - \( u = x^4 \) \(\Rightarrow du = 4x^3 \, dx\) - \( dv = e^{x/6} \, dx \) \(\Rightarrow v = 6 e^{x/6}\) Ahora aplicamos la fórmula de integración por partes: \[ \int x^4 e^{x/6} \, dx = x^4 \cdot 6 e^{x/6} - \int 6 e^{x/6} \cdot 4x^3 \, dx \] Simplificamos: \[ = 6 x^4 e^{x/6} - 24 \int x^3 e^{x/6} \, dx \] Ahora necesitamos resolver la integral \( \int x^3 e^{x/6} \, dx \). Aplicamos nuevamente integración por partes: Elegimos: - \( u = x^3 \) \(\Rightarrow du = 3x^2 \, dx\) - \( dv = e^{x/6} \, dx \) \(\Rightarrow v = 6 e^{x/6}\) Aplicamos la fórmula de integración por partes nuevamente: \[ \int x^3 e^{x/6} \, dx = x^3 \cdot 6 e^{x/6} - \int 6 e^{x/6} \cdot 3x^2 \, dx \] Simplificamos: \[ = 6 x^3 e^{x/6} - 18 \int x^2 e^{x/6} \, dx \] Ahora necesitamos resolver la integral \( \int x^2 e^{x/6} \, dx \). Aplicamos integración por partes una vez más: Elegimos: - \( u = x^2 \) \(\Rightarrow du = 2x \, dx\) - \( dv = e^{x/6} \, dx \) \(\Rightarrow v = 6 e^{x/6}\) Aplicamos la fórmula de integración por partes: \[ \int x^2 e^{x/6} \, dx = x^2 \cdot 6 e^{x/6} - \int 6 e^{x/6} \cdot 2x \, dx \] Simplificamos: \[ = 6 x^2 e^{x/6} - 12 \int x e^{x/6} \, dx \] Ahora necesitamos resolver la integral \( \int x e^{x/6} \, dx \). Aplicamos integración por partes una vez más: Elegimos: - \( u = x \) \(\Rightarrow du = dx\) - \( dv = e^{x/6} \, dx \) \(\Rightarrow v = 6 e^{x/6}\) Aplicamos la fórmula de integración por partes: \[ \int x e^{x/6} \, dx = x \cdot 6 e^{x/6} - \int 6 e^{x/6} \, dx \] Simplificamos: \[ = 6 x e^{x/6} - 36 e^{x/6} + C \] Ahora sustituimos esta integral en la anterior: \[ \int x^2 e^{x/6} \, dx = 6 x^2 e^{x/6} - 12 (6 x e^{x/6} - 36 e^{x/6}) \] Simplificamos: \[ = 6 x^2 e^{x/6} - 72 x e^{x/6} + 432 e^{x/6} \] Ahora sustituimos esta integral en la integral de \( x^3 e^{x/6} \): \[ \int x^3 e^{x/6} \, dx = 6 x^3 e^{x/6} - 18 (6 x^2 e^{x/6} - 72 x e^{x/6} + 432 e^{x/6}) \] Simplificamos: \[ = 6 x^3 e^{x/6} - 108 x^2 e^{x/6} + 1296 x e^{x/6} - 7776 e^{x/6} \] Finalmente, sustituimos esta integral en la integral original: \[ \int x^4 e^{x/6} \, dx = 6 x^4 e^{x/6} - 24 (6 x^3 e^{x/6} - 108 x^2 e^{x/6} + 1296 x e^{x/6} - 7776 e^{x/6}) \] Simplificamos: \[ = 6 x^4 e^{x/6} - 144 x^3 e^{x/6} + 2592 x^2 e^{x/6} - 186624 x e^{x/6} + 186624 e^{x/6} + C \] Por lo tanto, la solución final es: \[ \int x^4 e^{x/6} \, dx = e^{x/6} \left( 6 x^4 - 144 x^3 + 2592 x^2 - 186624 x + 186624 \right) + C \]