\( \varphi=\arctan \left(\frac{y}{x}\right) \) Penulisan system koordinat polar adalah \( \boldsymbol{r} \angle \boldsymbol{\varphi} \) Sebaliknya, untuk mengkonversi dari system koordinat polar menuju system koordinat cartesian seperti pada persamaan berikut: \( x=r \cdot \cos (\varphi) \) \( y=r \cdot \sin (\varphi) \) Untuk operasi penjumlahan dan pengurangan harus diubah ke system koordinat cartesian. Sedangkan untuk operasi perkalian dan pembagian dapat dilakukan dengan sangat mudah. Misal \( A=4 \angle 60^{\circ} \) dan \( B=2 \angle 20^{\circ} \) Perkalian: \( A \cdot B=\left(4 \angle 60^{\circ}\right) \cdot\left(2 \angle 20^{\circ}\right) \) Dalam proses perkalian, jari-jari (r) dikalikan, sedangkan sudut \( (\varphi) \) dijumlahkan. \( A \cdot B=(4.2) \angle\left(60^{\circ}+20^{\circ}\right) \) A. \( B=8 \angle 80^{\circ} \) Pembagian: \[ \frac{A}{B}=\frac{4 \angle 60^{\circ}}{2 \angle 20^{\circ}} \] Dalam proses pembagian, jari-jari (r) dibagi seperti biasa, sedangkan sudut \( (\varphi) \) pembilangdikurangi sudut penyebut. \[ \begin{array}{l} \frac{A}{B}=\frac{4}{2} \angle\left(60^{\circ}-20^{\circ}\right) \\ \frac{A}{B}=2 \angle 40^{\circ} \end{array} \] Tugas 1. (harus diseertai dengan cara) 1. Tentukan hasil dari \( \sqrt{-13.69} \) Diketahui \( A=1.5+0.5 i \) dan \( B=1+2.5 i \), maka tentukan: 2. \( A+B \) 3. \( A-B \) 4. \( A * B \) 5. \( \frac{A}{B} \) 6. \( \frac{A^{2}-A B}{B} \) 7. Bentuk polar \( A \) 8. Bentuk polar \( B \) 9. \( A * B \) dengan cara polar 10. \( \frac{A}{B} \) dengan cara polar 11. Bentuk cartesian dari jawaban no. 9 dan bandinglan hasilnya dengan jawaban no. 4 12. Bentuk cartesian dari jawaban no. 10 dan bandingkan hasilnya dengan jawaban no.5. Materi selanjutnya -> Euler dan Teorema de Moivre.

Mari kita selesaikan tugas satu per satu. ### 1. Tentukan hasil dari \( \sqrt{-13.69} \) Untuk menghitung akar kuadrat dari bilangan negatif, kita dapat menggunakan bilangan imajiner. Kita tahu bahwa: \[ \sqrt{-a} = i \sqrt{a} \] Jadi, kita dapat menghitung: \[ \sqrt{-13.69} = i \sqrt{13.69} \] Mari kita hitung \( \sqrt{13.69} \): \[ \sqrt{13.69} = 3.7 \] Sehingga: \[ \sqrt{-13.69} = 3.7i \] ### 2. \( A + B \) Diberikan \( A = 1.5 + 0.5i \) dan \( B = 1 + 2.5i \): \[ A + B = (1.5 + 0.5i) + (1 + 2.5i) = (1.5 + 1) + (0.5 + 2.5)i = 2.5 + 3i \] ### 3. \( A - B \) \[ A - B = (1.5 + 0.5i) - (1 + 2.5i) = (1.5 - 1) + (0.5 - 2.5)i = 0.5 - 2i \] ### 4. \( A \cdot B \) \[ A \cdot B = (1.5 + 0.5i)(1 + 2.5i) \] Mari kita hitung dengan menggunakan distribusi: \[ = 1.5 \cdot 1 + 1.5 \cdot 2.5i + 0.5i \cdot 1 + 0.5i \cdot 2.5i \] \[ = 1.5 + 3.75i + 0.5i - 1.25 \] \[ = (1.5 - 1.25) + (3.75 + 0.5)i = 0.25 + 4.25i \] ### 5. \( \frac{A}{B} \) \[ \frac{A}{B} = \frac{1.5 + 0.5i}{1 + 2.5i} \] Untuk membagi bilangan kompleks, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut: \[ = \frac{(1.5 + 0.5i)(1 - 2.5i)}{(1 + 2.5i)(1 - 2.5i)} \] Hitung penyebut: \[ = 1 - (2.5i) + (2.5i) - (0.5)(2.5)(2.5) = 1 + 6.25 = 7.25 \] Hitung pembilang: \[ = 1.5 - 3.75i + 0.5i + 1.25 = 2.75 - 3.25i \] Sehingga: \[ \frac{A}{B} = \frac{2.75 - 3.25i}{7.25} = \frac{2.75}{7.25} - \frac{3.25}{7.25}i \approx 0.3793 - 0.4483i \] ### 6. \( \frac{A^2 - AB}{B} \) Pertama, kita hitung \( A^2 \) dan \( AB \): \[ A^2 = (1.5 + 0.5i)^2 = 1.5^2 + 2(1.5)(0.5i) + (0.5i)^2 = 2.25 + 1.5i - 0.25 = 2 + 1.5i \] Dari sebelumnya, kita sudah menghitung \( A \cdot B = 0.25 + 4.25i \). Sekarang kita hitung \( A^2 - AB \): \[ A^2 - AB = (2 + 1.5i) - (0.25 + 4.25i) = 2 - 0.25 + (1.5 - 4.25)i = 1.75 - 2.75i \] Kemudian, kita bagi dengan \( B \): \[ \frac{A^2 - AB}{B} = \frac{1.75 - 2.75i}{1 + 2.5i} \] Kita kalikan dengan konjugat: \[ = \frac{(1.75 - 2.75i)(1 - 2.5i)}{(1 + 2.5i)(1 - 2.5i)} = \frac{1.75 - 4.375i + 2.75(2.5)}{1 + 6.25} = \frac{1.75 + 6.875 - 4.375i}{7.25} \] Hitung hasilnya: \[ = \frac{8.625 - 4.375i}{7.25} \approx 1.188 - 0.603i \] ### 7. Bentuk polar \( A \) Untuk mengubah \( A = 1.5 + 0.5i \) ke bentuk polar, kita hitung \( r \) dan \( \varphi \): \[ r = \sqrt{1.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{2.25 + 0.25} = \sqrt{2.5} \] \[ \varphi = \arctan\left(\frac{0.5}{1.5}\right) \] Mari kita hitung \( r \) dan \( \varphi \): \[ r \approx 1.5811 \] \[ \varphi \approx \arctan(0.3333) \approx 18.43^{\circ} \] Sehingga bentuk polar \( A \) adalah: \[ A \approx 1.5811 \angle 18.43^{\circ} \] ### 8. Bentuk polar \( B \) Untuk \( B = 1 + 2.5i \): \[ r = \sqrt{1^2 + (2.5)^2} = \sqrt{1 + 6.25} = \sqrt{7.25} \] \[ \varphi = \arctan\left(\frac{2.5}{1}\right) \] Hitung \( r \) dan \( \varphi \): \[ r \approx 2.6928 \] \[ \