L'objectir de T'exercice est de dêmontrer que, pour tout \( n \in N, \lim \frac{e^{\prime}}{x^{\prime}}= \) tos, Le cas \( n=0 \) a êté traité dans l'exercice D. Partie A icas \( n=1 \) On considere la fonction \( f \) definie sur \( \mathbb{R} \) par: 1. Déterminer la dérivée \( f \) de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).

Pour déterminer la dérivée de la fonction \( f \) sur \( \mathbb{R} \), il faut d'abord connaître la forme explicite de la fonction \( f(x) \). Supposons que \( f(x) = e^x \) pour cet exercice. La dérivée de \( f \) s'exprime alors comme : \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (e^x) = e^x. \] Ainsi, la dérivée de la fonction \( f \) est simplement elle-même, ce qui est une propriété unique de la fonction exponentielle. En traitant le cas général, si \( f(x) = e^{g(x)} \) où \( g(x) \) est une autre fonction dérivable, alors en utilisant la règle de la chaîne, la dérivée devient : \[ f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)}. \] Cette approche montre comment la dérivation de compositions de fonctions peut s'appliquer à notre situation. Rappelez-vous de toujours vérifier la forme de la fonction initiale pour obtenir la dérivée correcte!