Aplicação 13. Determine as raizes das equaçeses do \( 2^{\circ} \) grau incompletas. a) \( 4 x^{2}-12=0 \) b) \( 3 \sqrt{2} x^{2}+\sqrt{3} x=0 \) c) \( (x-4)^{2}+2(4 x-10)=0 \) 14. Analisando a equação do segundo grau \( x^{2}-2 x+1=0 \), podemos afirmar que ela possui: a) nenhuma solução real. \$6) uma unica solução real. c) duas soluções reais. d) três soluções reais. e) infinitas soluções reais. 15. Para que valores de \( k \) a equação \( 2 x^{2}+k x+ \) \( 2=0 \) possui duas raizes reais e iguais? 16. Determine a para que a equação do \( 2^{\circ} \) grau \( a x^{2}+x+1=0 \) admita duas raizes reais \( e \) distintas. a) \( a=\frac{1}{4} \) b) \( a<\frac{1}{4} \) c) \( a>\frac{1}{4} \) d) \( a=4 \) e) \( a=-4 \) 17. O valor de \( k \) para o qual a equação \( 3 x^{2}-4 x+\left(4-\frac{k}{6}\right)-0 \) tem uma raiz nula é: a) 17 b) 16 c) 0 d) -16 . ef 24 18. Uma das raízes da equação \( 3 x^{2}-(2+k) x+ \) \( 5=0 \) é o número 1. Nessas condições, temos: a) \( k=-5 \) b) \( k=6 \) c) \( k=-6 \) d) \( k=-4 \) e) \( k=5 \) 19. Calcule o valor de \( k \) na equação \( x^{2}-6 x+ \) Relaç̃ enlure os coericientes e cs reizes Sejam \( x_{1} \) e \( x_{2} \) as raízes de uma equação do 2. grau \( a x^{2}+b x+c=0 \) para \( a \neq 0 \), através da fórmula de Bhaskara, temos que: \( x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} \), em que: \( \Delta=b^{2}-4 a c \) Assim, temos as seguintes relações entre as raizes \( x_{1} \) e \( x_{2} \) e os coeficientes \( a_{1} \) b e \( c_{1} \) em que \( a \neq 0 \).
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Vamos calcular as raízes das equações do \(2^{\circ}\) grau incompletas! a) Para \(4x^{2} - 12 = 0\), primeiro adicionamos 12 de ambos os lados, resultando em \(4x^{2} = 12\). Dividindo por 4, obtemos \(x^{2} = 3\). As soluções são \(x = \sqrt{3}\) e \(x = -\sqrt{3}\). b) Na equação \(3\sqrt{2}x^{2} + \sqrt{3}x = 0\), podemos fatorar \(x\) obtendo \(x(3\sqrt{2}x + \sqrt{3}) = 0\). Isso nos dá uma solução \(x = 0\) e \(x = -\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\) após resolver para as outras raízes. A equação \(x^{2} - 2x + 1 = 0\) possui uma única solução real: \(x = 1\). Isso ocorre porque \(\Delta = b^{2} - 4ac = 0\), indicando as raízes idênticas. Para que a equação \(2x^{2} + kx + 2 = 0\) tenha duas raízes reais e iguais, \(\Delta\) deve ser zero. Assim, \(k^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0\), logo \(k = \pm 4\). Para a equação \(ax^{2} + x + 1 = 0\) ter duas raízes reais e distintas, devemos ter \(b^{2} - 4ac > 0\). Portanto, \(1 - 4a > 0\) ou \(a < \frac{1}{4}\). O valor de \(k\) para a equação \(3x^{2} - 4x + \left(4 - \frac{k}{6}\right) = 0\) ter uma raiz nula é encontrado ao substituir \(x = 0\) e resolver \(4 - \frac{k}{6} = 0\), então \(k = 24\). Por fim, sabendo que uma raiz da equação \(3x^{2} - (2 + k)x + 5 = 0\) é \(1\), substituímos: \(3(1)^{2} - (2 + k)(1) + 5 = 0\). Isso leva a \(3 - 2 - k + 5 = 0\), resultando em \(k = 6\). Pronto! Agora é sua vez de usar essas informações para resolver as questões com confiança!
