Al variare di \( k \in \mathbb{R} \) discutere e risolvere il sistema lineare \[ \left\{\begin{array}{l}k x+z=1 \\ x+z=1 \\ k x+k z=2 k \\ k x+y=k\end{array}\right. \]

Per risolvere e discutere il sistema lineare dato: \[ \left\{ \begin{array}{l} k x + z = 1 \\ x + z = 1 \\ k x + k z = 2k \\ k x + y = k \end{array} \right. \] procediamo analizzando diversi casi in base al valore di \( k \). ### 1. Caso \( k \neq 1 \) Dall'equazione seconda: \[ x + z = 1 \quad \Rightarrow \quad z = 1 - x \] Sostituendo \( z \) nell'equazione prima: \[ k x + (1 - x) = 1 \quad \Rightarrow \quad (k - 1)x = 0 \] Poiché \( k \neq 1 \), si ottiene: \[ x = 0 \] Di conseguenza: \[ z = 1 - 0 = 1 \] Consideriamo l'equazione quarta: \[ k \cdot 0 + y = k \quad \Rightarrow \quad y = k \] Ora verifichiamo l'equazione terza: \[ k \cdot 0 + k \cdot 1 = 2k \quad \Rightarrow \quad k = 2k \quad \Rightarrow \quad k = 0 \] Quindi, l'unico valore di \( k \) diverso da 1 che soddisfa il sistema è \( k = 0 \). ### 2. Caso \( k = 1 \) Sostituendo \( k = 1 \) nel sistema: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + z = 1 \\ x + z = 1 \\ x + z = 2 \\ x + y = 1 \end{array} \right. \] Le prime due equazioni coincidono, ma la terza richiede che \( x + z = 2 \), contraddicendo \( x + z = 1 \). Pertanto, il sistema è **incompatibile** per \( k = 1 \). ### 3. Caso \( k = 0 \) Sostituendo \( k = 0 \) nel sistema: \[ \left\{ \begin{array}{l} 0 \cdot x + z = 1 \quad \Rightarrow \quad z = 1 \\ x + z = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \\ 0 \cdot x + 0 \cdot z = 0 \quad \text{(identità)} \\ 0 \cdot x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0 \end{array} \right. \] La soluzione è: \[ (x, y, z) = (0, 0, 1) \] ### Conclusione - **Quando \( k = 0 \)**: Il sistema ammette una **soluzione unica** \( (x, y, z) = (0, 0, 1) \). - **Per ogni altro valore di \( k \)** (ovvero \( k \neq 0 \) e \( k \neq 1 \), incluso \( k = 1 \)): Il sistema è **incompatibile** e non ammette soluzioni. **Riassunto:** Il sistema ha una soluzione unica \((x, y, z) = (0,\,0,\,1)\) solo quando \( k = 0 \). Per ogni altro valore di \( k \), incluso \( k = 1 \), il sistema è incompatibile e non ammette soluzioni.