102. \( 1-x^{2}+x^{4} \) dividido entre \( x^{2}-x+1 \)

Para dividir \(1 - x^{2} + x^{4}\) entre \(x^{2} - x + 1\), realizamos la división polinómica paso a paso. ### Paso 1: Ordenar los polinomios Ordenamos el dividendo y el divisor en orden descendente de potencias de \(x\): - **Dividendo**: \(x^{4} + 0x^{3} - x^{2} + 0x + 1\) - **Divisor**: \(x^{2} - x + 1\) ### Paso 2: División 1. **Primer término:** \[ \frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2} \] Multiplicamos el divisor por \(x^{2}\): \[ x^{2}(x^{2} - x + 1) = x^{4} - x^{3} + x^{2} \] Restamos este resultado del dividendo: \[ \begin{align*} &(x^{4} + 0x^{3} - x^{2} + 0x + 1) \\ - &(x^{4} - x^{3} + x^{2}) \\ = &0x^{4} + x^{3} - 2x^{2} + 0x + 1 \end{align*} \] 2. **Segundo término:** \[ \frac{x^{3}}{x^{2}} = x \] Multiplicamos el divisor por \(x\): \[ x(x^{2} - x + 1) = x^{3} - x^{2} + x \] Restamos este resultado: \[ \begin{align*} &(x^{3} - 2x^{2} + 0x + 1) \\ - &(x^{3} - x^{2} + x) \\ = &0x^{3} - x^{2} - x + 1 \end{align*} \] 3. **Tercer término:** \[ \frac{-x^{2}}{x^{2}} = -1 \] Multiplicamos el divisor por \(-1\): \[ -1(x^{2} - x + 1) = -x^{2} + x - 1 \] Restamos este resultado: \[ \begin{align*} &(-x^{2} - x + 1) \\ - &(-x^{2} + x - 1) \\ = &-2x + 2 \end{align*} \] ### Resultado Final El cociente de la división es \(x^{2} + x - 1\) y el residuo es \(-2x + 2\). Por lo tanto: \[ \frac{x^{4} - x^{2} + 1}{x^{2} - x + 1} = x^{2} + x - 1 + \frac{-2x + 2}{x^{2} - x + 1} \] **Respuesta Final:** Al dividir \(1 - x^{2} + x^{4}\) entre \(x^{2} - x + 1\), el cociente es \(x^{2} + x - 1\) y el residuo es \(-2x + 2\). \[ x^{4} - x^{2} + 1 = (x^{2} - x + 1)(x^{2} + x - 1) + (-2x + 2) \]