Un quadrato e un rettangolo hanno la stessa area. La base del rettangolo supera di 5 cm il lato del quadrato el'altezza del rettangolo è 3 cm in meno del lato del qua- drato. Qual è l'area del quadrato? [ \( \left.56,25 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Per risolvere il problema, seguiamo questi passaggi: 1. **Definiamo le variabili:** - Sia \( s \) il lato del quadrato. - L'area del quadrato è quindi \( A_q = s^2 \). - La base del rettangolo è \( b = s + 5 \) (5 cm in più del lato del quadrato). - L'altezza del rettangolo è \( h = s - 3 \) (3 cm in meno del lato del quadrato). - L'area del rettangolo è \( A_r = b \cdot h = (s + 5)(s - 3) \). 2. **Impostiamo l'equazione:** Poiché le aree del quadrato e del rettangolo sono uguali, abbiamo: \[ s^2 = (s + 5)(s - 3) \] 3. **Espandiamo l'equazione del rettangolo:** \[ (s + 5)(s - 3) = s^2 - 3s + 5s - 15 = s^2 + 2s - 15 \] 4. **Impostiamo l'equazione finale:** \[ s^2 = s^2 + 2s - 15 \] 5. **Semplifichiamo l'equazione:** Sottraiamo \( s^2 \) da entrambi i lati: \[ 0 = 2s - 15 \] 6. **Risolvendo per \( s \):** \[ 2s = 15 \implies s = \frac{15}{2} = 7.5 \, \text{cm} \] 7. **Calcoliamo l'area del quadrato:** \[ A_q = s^2 = (7.5)^2 = 56.25 \, \text{cm}^2 \] Quindi, l'area del quadrato è \( 56.25 \, \text{cm}^2 \).