31. Dă \( y=f(x) \) är en tredjegradsfunktion kan ekvationen \( f^{\prime}(x)=0 \) ha 0,1 eller 2 reella lösningar. a) Lös ekvationen \( f^{\prime}(x)=0 \) då \( f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x \) b) Lös ekvationen \( f^{\prime}(x)=0 \) då \( f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x \) c) Vi har tredjegradsfunktionen \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x \) Undersök vilka samband som finns mellan talen \( a \) och \( b \) då ekvationen \( f^{\prime}(x)=0 \) har 0,1 eller 2 reella lösningar.

För att lösa uppgifterna, börjar vi med att beräkna derivatan \( f'(x) \) för de givna funktionerna och sedan lösa ekvationen \( f'(x) = 0 \). ### a) Lös ekvationen \( f^{\prime}(x)=0 \) då \( f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x \) Först beräknar vi derivatan: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x) = 3x^2 - 12x + 9 \] Nu sätter vi derivatan lika med noll: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Vi kan förenkla denna ekvation genom att dela med 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Nu faktorisar vi: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Så lösningarna är: \[ x = 1 \quad \text{och} \quad x = 3 \] Det finns alltså 2 reella lösningar. ### b) Lös ekvationen \( f^{\prime}(x)=0 \) då \( f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x \) Vi beräknar derivatan: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 12x) = 3x^2 - 12x + 12 \] Sätter derivatan lika med noll: \[ 3x^2 - 12x + 12 = 0 \] Vi kan förenkla genom att dela med 3: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] Denna ekvation kan skrivas som: \[ (x - 2)^2 = 0 \] Så den enda lösningen är: \[ x = 2 \] Det finns alltså 1 reell lösning (en dubbelrot). ### c) Undersök sambanden mellan \( a \) och \( b \) för \( f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x \) För att undersöka sambanden mellan \( a \) och \( b \) när \( f'(x) = 0 \) har 0, 1 eller 2 reella lösningar, börjar vi med att beräkna derivatan: \[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \] Vi vill nu analysera den kvadratiska ekvationen \( 3x^2 + 2ax + b = 0 \). Antalet reella lösningar beror på diskriminanten \( D \): \[ D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b = 4a^2 - 12b \] - **0 reella lösningar**: \( D < 0 \) vilket ger \( 4a^2 - 12b < 0 \) eller \( b > \frac{a^2}{3} \). - **1 reell lösning**: \( D = 0 \) vilket ger \( 4a^2 - 12b = 0 \) eller \( b = \frac{a^2}{3} \). - **2 reella lösningar**: \( D > 0 \) vilket ger \( 4a^2 - 12b > 0 \) eller \( b < \frac{a^2}{3} \). Sammanfattningsvis: - För 0 reella lösningar: \( b > \frac{a^2}{3} \) - För 1 reell lösning: \( b = \frac{a^2}{3} \) - För 2 reella lösningar: \( b < \frac{a^2}{3} \)