DIFFERENZA DI DUE QUADRATI Indica se le seguenti affermazioni sono vere o faise. a. \( a^{2} b^{6}-c^{4}=\left(a b^{3}+c^{2}\right)\left(c^{2}-a b^{3}\right) \) b. \( x^{2 n}-y^{4 n}=\left(x^{n}-y^{2 n}\right)\left(y^{2 n}+x^{n}\right) \), con \( n \in \mathbb{N} \) c. \( a^{2}+1-b^{2}=(a+1-b)(a+1+b) \) d. \( x^{2}-(y+1)^{2}=(x-y+1)(x+y+1) \)

**a.** Consideriamo l’espressione \(a^2b^6-c^4\). Riconosciamo che \[ a^2b^6 = (ab^3)^2 \quad \text{e} \quad c^4 = \left(c^2\right)^2. \] Quindi possiamo scrivere \[ a^2b^6-c^4 = (ab^3)^2 - \left(c^2\right)^2, \] che si fattorizza secondo la formula della differenza di due quadrati: \[ A^2-B^2=(A+B)(A-B). \] Ponendo \(A=ab^3\) e \(B=c^2\) otteniamo la corretta fattorizzazione \[ (ab^3+c^2)(ab^3-c^2). \] L’affermazione data è \[ \left(ab^3+c^2\right)\left(c^2-ab^3\right), \] ma notiamo che \[ c^2-ab^3 = -(ab^3-c^2), \] quindi \[ \left(ab^3+c^2\right)\left(c^2-ab^3\right) = -(ab^3+c^2)(ab^3-c^2), \] cioè equivale al negativo della corretta espressione. Perciò l’affermazione è **falsa**. --- **b.** Consideriamo l’espressione \[ x^{2n}-y^{4n}. \] Possiamo riscriverla come \[ \left(x^n\right)^2-\left(y^{2n}\right)^2. \] Applicando la differenza di due quadrati, abbiamo \[ \left(x^n-y^{2n}\right)\left(x^n+y^{2n}\right). \] L’affermazione proposta è \[ \left(x^n-y^{2n}\right)\left(y^{2n}+x^n\right), \] e notiamo che l’ordine nelle somme non influisce, cioè \[ x^n+y^{2n}=y^{2n}+x^n. \] Pertanto l’affermazione è **vera**. --- **c.** Consideriamo l’espressione \[ a^2+1-b^2. \] L’affermazione afferma che \[ a^2+1-b^2=(a+1-b)(a+1+b). \] Espandiamo il prodotto a destra: \[ (a+1-b)(a+1+b)= (a+1)^2-b^2 = a^2+2a+1-b^2. \] Notiamo che l’espressione ottenuta è \[ a^2+2a+1-b^2, \] che differisce dall’espressione iniziale \(a^2+1-b^2\) per il termine \(2a\). Quindi l’uguaglianza non è verificata e l’affermazione è **falsa**. --- **d.** Consideriamo l’espressione \[ x^2-(y+1)^2. \] La formula della differenza di due quadrati suggerirebbe di scriverla come \[ \left(x-(y+1)\right)\left(x+(y+1)\right)=\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right). \] L’affermazione data è \[ (x-y+1)(x+y+1), \] che presenta nel primo fattore \(x-y+1\) anziché \(x-y-1\). Per verificarla, espandiamo il prodotto dato: \[ (x-y+1)(x+y+1) = (x+1)^2-y^2 = x^2+2x+1-y^2. \] Invece, espandendo la parte sinistra \[ x^2-(y+1)^2 = x^2-y^2-2y-1. \] Le due espressioni non coincidono, quindi l’affermazione è **falsa**. --- **Risposte finali:** a. Falso b. Vero c. Falso d. Falso