11) ถ้า \( 5 \tan A=4 \) จงหาค่าของ \( \frac{5 \sin A-3 \cos A}{\sin A+2 \cos A} \)

เราจะเริ่มจากการหาค่า \(\tan A\) จากสมการที่ให้มา: \[ 5 \tan A = 4 \implies \tan A = \frac{4}{5} \] โดยใช้ว่า \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\) ซึ่งเราสามารถนำไปใช้ในการหาค่า \(\sin A\) และ \(\cos A\): ตั้ง \(\sin A = 4k\) และ \(\cos A = 5k\) เพื่อให้ \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}\) ตอนนี้เรารู้ว่า \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\): \[ (4k)^2 + (5k)^2 = 1 \implies 16k^2 + 25k^2 = 1 \implies 41k^2 = 1 \implies k^2 = \frac{1}{41} \implies k = \frac{1}{\sqrt{41}} \] ดังนั้น: \[ \sin A = \frac{4}{\sqrt{41}} \quad \text{และ} \quad \cos A = \frac{5}{\sqrt{41}} \] ต่อไปเราจะหาค่า \(\frac{5 \sin A - 3 \cos A}{\sin A + 2 \cos A}\): \[ 5 \sin A = 5 \cdot \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{20}{\sqrt{41}}, \quad 3 \cos A = 3 \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = \frac{15}{\sqrt{41}} \] ดังนั้น: \[ 5 \sin A - 3 \cos A = \frac{20}{\sqrt{41}} - \frac{15}{\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}} \] และสำหรับ \(\sin A + 2 \cos A\): \[ \sin A + 2 \cos A = \frac{4}{\sqrt{41}} + 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}} + \frac{10}{\sqrt{41}} = \frac{14}{\sqrt{41}} \] ดังนั้น ค่าของ \(\frac{5 \sin A - 3 \cos A}{\sin A + 2 \cos A}\) จะเป็น: \[ \frac{\frac{5}{\sqrt{41}}}{\frac{14}{\sqrt{41}}} = \frac{5}{14} \] สุดท้ายคำตอบคือ: \[ \frac{5}{14} \]