Determine o mínimo múltiplo comum dos números 600,2646 e 2772 por meio da decomposição simultânea em fatores primos.

Para determinar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números 600, 2646 e 2772, vamos realizar a decomposição simultânea em fatores primos de cada um desses números. ### Passo 1: Decomposição em fatores primos **Decompondo 600:** 1. \( 600 \div 2 = 300 \) 2. \( 300 \div 2 = 150 \) 3. \( 150 \div 2 = 75 \) 4. \( 75 \div 3 = 25 \) 5. \( 25 \div 5 = 5 \) 6. \( 5 \div 5 = 1 \) Assim, a decomposição de 600 é: \[ 600 = 2^3 \times 3^1 \times 5^2 \] **Decompondo 2646:** 1. \( 2646 \div 2 = 1323 \) 2. \( 1323 \div 3 = 441 \) 3. \( 441 \div 3 = 147 \) 4. \( 147 \div 3 = 49 \) 5. \( 49 \div 7 = 7 \) 6. \( 7 \div 7 = 1 \) Assim, a decomposição de 2646 é: \[ 2646 = 2^1 \times 3^3 \times 7^2 \] **Decompondo 2772:** 1. \( 2772 \div 2 = 1386 \) 2. \( 1386 \div 2 = 693 \) 3. \( 693 \div 3 = 231 \) 4. \( 231 \div 3 = 77 \) 5. \( 77 \div 7 = 11 \) 6. \( 11 \div 11 = 1 \) Assim, a decomposição de 2772 é: \[ 2772 = 2^2 \times 3^2 \times 7^1 \times 11^1 \] ### Passo 2: Montando o MMC Para encontrar o MMC, pegamos o maior expoente de cada fator primo encontrado nas decomposições: - Para o fator \( 2 \): o maior expoente é \( 3 \) (de 600). - Para o fator \( 3 \): o maior expoente é \( 3 \) (de 2646). - Para o fator \( 5 \): o maior expoente é \( 2 \) (de 600). - Para o fator \( 7 \): o maior expoente é \( 2 \) (de 2646). - Para o fator \( 11 \): o maior expoente é \( 1 \) (de 2772). Assim, o MMC é dado por: \[ MMC = 2^3 \times 3^3 \times 5^2 \times 7^2 \times 11^1 \] ### Passo 3: Cálculo do MMC Agora, vamos calcular o valor do MMC: \[ MMC = 8 \times 27 \times 25 \times 49 \times 11 \] Vamos calcular isso passo a passo: 1. \( 8 \times 27 = 216 \) 2. \( 216 \times 25 = 5400 \) 3. \( 5400 \times 49 = 264600 \) 4. \( 264600 \times 11 = 2910600 \) Portanto, o mínimo múltiplo comum dos números 600, 2646 e 2772 é: \[ \text{MMC} = 2910600 \]